Stanford机器学习---第一讲. Linear Regression with one variable

来源:互联网 发布:软件开发社区 编辑:程序博客网 时间:2024/03/29 21:08

本栏目(Machine learning)包括单参数的线性回归、多参数的线性回归、Octave Tutorial、Logistic Regression、Regularization、神经网络、机器学习系统设计、SVM(Support Vector Machines 支持向量机)、聚类、降维、异常检测、大规模机器学习等章节。所有内容均来自Standford公开课machine learning中Andrew老师的讲解。(https://class.coursera.org/ml/class/index)


第一章-------单参数线性回归 Linear Regression with one variable


(一)、Cost Function

线性回归是给出一系列点假设拟合直线为h(x)=theta0+theta1*x, 记Cost Function为J(theta0,theta1)

之所以说单参数是因为只有一个变量x,即影响回归参数θ1,θ0的是一维变量,或者说输入变量只有一维属性。

                              


下图中为简化模式,只有theta1没有theta0的情况,即拟合直线为h(x)=theta1*x

左图为给定theta1时的直线和数据点×

右图为不同theta1下的cost function J(theta1)


cost function plot:



当存在两个参数theta0和theta1时,cost function是一个三维函数,这种样子的图像叫bowl-shape function




将上图中的cost function在二维上用不同颜色的等高线映射为如下右图,可得在左图中给定一个(theta0,theta1)时又图中显示的cost function.






我们的目的是最小化cost function,即上图中最后一幅图,theta0=450,theta1=0.12的情况。

(二)、Gradient descent

gradient descent是指梯度下降,为的是将cost funciton 描绘出之后,让参数沿着梯度下降的方向走,并迭代地不断减小J(theta0,theta1),即稳态。



每次沿着梯度下降的方向:




参数的变换公式:其中标出了梯度(蓝框内)和学习率(α):




gradient即J在该点的切线斜率slope,tanβ。下图所示分别为slope(gradient)为正和负的情况:




同时更新theta0和theta1,左边为正解:




关于学习率:

                                     


α太小:学习很慢;                                                             α太大:容易过学习

所以如果陷入局部极小,则slope=0,不会向左右变换

本图表示:无需逐渐减小α,就可以使下降幅度逐渐减小(因为梯度逐渐减小):


求导后:


由此我们得到:


其中x(i)表示输入数据x中的第i组数据





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