算法导论--------------Strassen矩阵乘法

由于看到 了动态规划来分析解决矩阵链乘的问题，所以回顾了一下矩阵乘法，发现这个知识点忘记的差不多了，现在再来总结一下。

首先我们知道两个矩阵相乘A*B，那么A的列数必须等于B的行数，否则不能进行相乘.

首先我们来回顾一下解决矩阵相乘问题的一般方法：利用三个for循环来解决，时间复杂度为o（n^3）。

矩阵乘法定义：

例如有两个n乘以n的矩阵A和B，C=A*B；

那么求C的过程为：

#include<iostream>using namespace std;int main(){int a[3][4] = {1, 3, 3, 1,1, 2, 4, 1,2, 6, 5, 1};int b[4][2] = {2, 1,2, 1,2, 1,2, 1};int c[3][2] = { 0 };for (int i = 0; i < 3; ++i){for (int j = 0; j < 2; ++j){c[i][j] = 0;for (int k = 0; k < 4; ++k)c[i][j] = c[i][j] + a[i][k] * b[k][j];}}for (int i = 0; i < 3; ++i){   int k = 0;for (int j = 0; j < 2; ++j){cout << c[i][j] << " ";k++;if (k == 2){cout << endl;}}}return 0;}

现在我们来看看Strassen算法的原理：

一般情况下矩阵乘法需要三个for循环，时间复杂度为O(n^3)，现在我们将矩阵分块如图：( 来自MIT算法导论 )

                                        

一般算法需要八次乘法

r = a * e + b * g ;

s = a * f  + b * h ;

t = c * e + d  * g; 

u = c * f + d * h;

strassen将其变成7次乘法，因为大家都知道乘法比加减法消耗更多，所有时间复杂更高！

strassen的处理是：

令：

p1 = a * ( f - h )

p2 = ( a + b ) *  h

p3 = ( c +d ) * e

p4 = d *  ( g - e )

p5 = ( a + d ) * ( e + h )

p6 =  ( b - d ) * ( g + h ) 

p7 = ( a - c ) * ( e + f )

那么我们可以知道：

r  = p5 + p4 + p6 - p2

s = p1 + p2

t = p3 + p4

u = p5 + p1 - p3 - p7

我们可以看到上面只有7次乘法和多次加减法，最终达到降低复杂度为O( n^lg7 ) ~= O( n^2.81 );

其代码实现过程为：其中n必须为2的幂

#include<iostream>using namespace std;#define  N  4//matrix + matrixvoid my_plus(int t[N / 2][N / 2], int r[N / 2][N / 2], int s[N / 2][N / 2]){int i, j;for (i = 0; i < N / 2; i++){for (j = 0; j < N / 2; j++){t[i][j] = r[i][j] + s[i][j];}}}//matrix - matrixvoid my_minus(int t[N / 2][N / 2], int r[N / 2][N / 2], int s[N / 2][N / 2]){int i, j;for (i = 0; i < N / 2; i++){for (j = 0; j < N / 2; j++){t[i][j] = r[i][j] - s[i][j];}}}//matrix * matrixvoid my_mul(int t[N / 2][N / 2], int r[N / 2][N / 2], int s[N / 2][N / 2]){int i, j, k;for (i = 0; i < N / 2; i++){for (j = 0; j < N / 2; j++){t[i][j] = 0;for (k = 0; k < N / 2; k++){t[i][j] += r[i][k] * s[k][j];}}}}int main(){int i, j, k;int mat[N][N];//int m1[N][N];//int m2[N][N];int a[N / 2][N / 2], b[N / 2][N / 2], c[N / 2][N / 2], d[N / 2][N / 2];int e[N / 2][N / 2], f[N / 2][N / 2], g[N / 2][N / 2], h[N / 2][N / 2];int p1[N / 2][N / 2], p2[N / 2][N / 2], p3[N / 2][N / 2], p4[N / 2][N / 2];int p5[N / 2][N / 2], p6[N / 2][N / 2], p7[N / 2][N / 2];int r[N / 2][N / 2], s[N / 2][N / 2], t[N / 2][N / 2], u[N / 2][N / 2], t1[N / 2][N / 2], t2[N / 2][N / 2];int m1[4][4] = {4, 4, 4, 4,4, 4, 4, 4,4, 4, 4, 4,4, 4, 4, 4 };int m2[4][4] = {2, 2, 2, 2,2, 2, 2, 2,2, 2, 2, 2,2, 2, 2, 2 };// a b c d e f g hfor (int i = 0; i < N / 2; i++){for (int j = 0; j < N / 2; j++){a[i][j] = m1[i][j];b[i][j] = m1[i][j + N / 2];c[i][j] = m1[i + N / 2][j];d[i][j] = m1[i + N / 2][j + N / 2];e[i][j] = m2[i][j];f[i][j] = m2[i][j + N / 2];g[i][j] = m2[i + N / 2][j];h[i][j] = m2[i + N / 2][j + N / 2];}}//p1my_minus(r, f, h);my_mul(p1, a, r);//p2my_plus(r, a, b);my_mul(p2, r, h);//p3my_plus(r, c, d);my_mul(p3, r, e);//p4my_minus(r, g, e);my_mul(p4, d, r);//p5my_plus(r, a, d);my_plus(s, e, f);my_mul(p5, r, s);//p6my_minus(r, b, d);my_plus(s, g, h);my_mul(p6, r, s);//p7my_minus(r, a, c);my_plus(s, e, f);my_mul(p7, r, s);//r = p5 + p4 - p2 + p6my_plus(t1, p5, p4);my_minus(t2, t1, p2);my_plus(r, t2, p6);//s = p1 + p2my_plus(s, p1, p2);//t = p3 + p4my_plus(t, p3, p4);//u = p5 + p1 - p3 - p7 = p5 + p1 - ( p3 + p7 )my_plus(t1, p5, p1);my_plus(t2, p3, p7);my_minus(u, t1, t2);for (int i = 0; i < N / 2; i++){for (int j = 0; j < N / 2; j++){mat[i][j] = r[i][j];mat[i][j + N / 2] = s[i][j];mat[i + N / 2][j] = t[i][j];mat[i + N / 2][j + N / 2] = u[i][j];}}printf("\n下面是strassen算法处理结果：\n");for (i = 0; i < N; i++){for (j = 0; j < N; j++){printf("%d ", mat[i][j]);}printf("\n");}//下面是朴素算法处理printf("\n下面是朴素算法处理结果：\n");for (i = 0; i < N; i++){for (j = 0; j < N; j++){mat[i][j] = 0;for (k = 0; k < N; k++){mat[i][j] += m1[i][j] * m2[i][j];}}}for (i = 0; i < N; i++){for (j = 0; j < N; j++){printf("%d ", mat[i][j]);}printf("\n");}return 0;}