[算法系列之九]Karatsuba快速相乘算法

【概述】

Karatsuba乘法是一种快速乘法。此算法在1960年由Anatolii Alexeevitch Karatsuba 提出，并于1962年得以发表。

此算法主要用于两个大数相乘。普通乘法的复杂度是n2，而Karatsuba算法的复杂度仅为3nlog3≈3n1.585（log3是以2为底的）

【步骤】

Karatsuba算法主要应用于两个大数的相乘，原理是将大数分成两段后变成较小的数位，然后做3次乘法，并附带少量的加法操作和移位操作。

现有两个大数，x，y。

首先将x，y分别拆开成为两部分，可得x1，x0，y1，y0。他们的关系如下：

x = x1 * 10m + x0；

y = y1 * 10m + y0。其中m为正整数，m < n，且x0，y0 小于 10m。

那么 

xy    = (x1 * 10m + x0)(y1 * 10m + y0)

        =z2 * 102m + z1 * 10m + z0，其中：

z2 = x1 * y1；

z1 = x1 * y0 + x0 * y1；

z0 = x0 * y0。

此步骤共需4次乘法，但是由Karatsuba改进以后仅需要3次乘法。因为：

z1 = x1 * y0+ x0 * y1

z1 = (x1 + x0) * (y1 + y0) - x1 * y1 - x0 * y0，

故x0 * y0 便可以由加减法得到。

所以：

  x*y = z2 *  102m +  z1 *  10m +   z0

z2 = x1 * y1

z1 = (x1 + x0) * (y1 + y0) - x1 * y1 - x0 * y0 =  (x1 + x0) * (y1 + y0) - x1 * y1 - z0

z0 = x0 * y0

Recursively computer  (x1*y1)

Recursively computer  (x1 + x0) * (y1 + y0)

Recursively computer  (x0 * y0)

【实例讲解】

设x = 12345，y=6789，令m=3。那么有：

12345 = 12 * 1000 + 345；

6789 = 6 * 1000 + 789。

下面计算：

z2 = 12 * 6 = 72；

z0 = 345 * 789 = 272205；

z1 = (12 + 345) * (6 + 789) - z2 - z0 = 11538。

然后我们按照移位公式（xy = z2 * 102m  + z1 * 10m  + z0）可得：

xy = 72 * 10002 + 11538 * 1000 + 272205 = 83810205。

【伪代码】

procedure karatsuba(num1, num2)  if (num1 < 10) or (num2 < 10)    return num1*num2  /* calculates the size of the numbers */  m = max(size_base10(num1), size_base10(num2))  m2 = m/2  /* split the digit sequences about the middle */  x1, x0 = split_at(num1, m2)  y1, y0 = split_at(num2, m2)  /* 3 calls made to numbers approximately half the size */  z0 = karatsuba(x0,y0)  z1 = karatsuba((x1+x0),(y1+y0))  z2 = karatsuba(x1,y1)  return (z2*10^(2*m2))+((z1-z2-z0)*10^(m2))+(z0)

【代码】

/**********************************   日期：2015-01-29*   作者：SJF0115*   题目: Karatsuba快速相乘算法*   博客：**********************************/#include <iostream>#include <string>#include <algorithm>using namespace std;// given two unequal sized bit strings, converts them to// same length by adding leading 0s in the smaller string. Returns the// the new lengthint MakeSameLen(string& num1,string& num2){    int len1 = num1.length();    int len2 = num2.length();    if(len1 < len2){        for(int i = 0;i < len2 - len1;++i){            num1 = "0" + num1;        }//for        return len2;    }//if    else{        for(int i = 0;i < len1 - len2;++i){            num2 = "0" + num2;        }//for        return len1;    }//else}// big number minus functionstring MinusString(string num1, string num2) {    int len1 = num1.length();    int len2 = num2.length();    // 相等    if(num1 == num2){        return "0";    }//if    // 正负    bool positive = true;    if(len1 < len2 || (len1 == len2 && num1 < num2)){        positive = false;        // 交换使之num1 > num2        string tmp = num1;        num1 = num2;        num2 = tmp;        int temp = len1;        len1 = len2;        len2 = temp;    }//if    string result;    int i = len1 - 1,j = len2 - 1;    int a,b,sum,carray = 0;    // 从低位到高位对位做减法    while(i >= 0 || j >= 0){        a = i >= 0 ? num1[i] - '0' : 0;        b = j >= 0 ? num2[j] - '0' : 0;        sum = a - b + carray;        carray = 0;        // 不够减        if(sum < 0){            sum += 10;            carray = -1;        }//if        result.insert(result.begin(),sum + '0');        --i;        --j;    }//while    // 删除前导0    string::iterator it = result.begin();    while(it != result.end() && *it == '0'){        ++it;    }//while    result.erase(result.begin(),it);    return positive ? result : "-"+result;}// big number add functionstring AddString(string num1,string num2){    int len1 = num1.length();    int len2 = num2.length();    // 容错处理    if(len1 <= 0){        return num2;    }//if    if(len2 <= 0){        return num1;    }    string result;    int i = len1-1,j = len2-1;    int a,b,sum,carry = 0;    // 倒序相加    while(i >= 0 || j >= 0 || carry > 0){        a = i >= 0 ? num1[i] - '0' : 0;        b = j >= 0 ? num2[j] - '0' : 0;        // 按位相加并加上进位        sum = a + b + carry;        // 进位        carry = sum / 10;        result.insert(result.begin(),sum % 10 + '0');        --i;        --j;    }//while    return result;}// 移位string ShiftString(string num,int len){    if(num == "0"){        return num;    }//if    for(int i = 0;i < len;++i){        num += "0";    }//for    return num;}// Karatsuba快速相乘算法string KaratsubaMultiply(string num1, string num2) {    int len = MakeSameLen(num1,num2);    if(len == 0){        return 0;    }//if    // all digit are one    if(len == 1){        return to_string((num1[0] - '0')*(num2[0] - '0'));    }//if    int mid = len / 2;    // Find the first half and second half of first string.    string x1 = num1.substr(0,mid);    string x0 = num1.substr(mid,len - mid);    // Find the first half and second half of second string    string y1 = num2.substr(0,mid);    string y0 = num2.substr(mid,len - mid);    // Recursively computer    string z0 = KaratsubaMultiply(x0,y0);    string z1 = KaratsubaMultiply(AddString(x1,x0),AddString(y1,y0));    string z2 = KaratsubaMultiply(x1,y1);    // (z2*10^(2*m))+((z1-z2-z0)*10^(m))+(z0)    // z2*10^(2*m)    string r1 = ShiftString(z2,2*(len - mid));    // (z1-z2-z0)*10^(m)    string r2 = ShiftString(MinusString(MinusString(z1,z2),z0),len - mid);    return  AddString(AddString(r1,r2),z0);}int main(){    string num1("12345001");    string num2("1006789");    string result = KaratsubaMultiply(num1,num2);    // 输出    cout<<result<<endl;    return 0;}