全错位排列

以前接触过这样的题目，但是现在稍微系统点

首先看一下百度百科对全错位排列的解释：

基本简介

全错位排列：即被著名数学家欧拉(Leonhard Euler，1707－1783)称为组合数论的一个妙题的“装错信封问题”。

“装错信封问题”是由当时最有名的数学家约翰·伯努利(Johann Bernoulli，1667－1748)的儿子丹尼尔·伯努利(DanidBernoulli，1700－1782)提出来的，大意如下：

一个人写了n封不同的信及相应的n个不同的信封，他把这n封信都装错了信封，问都装错信封的装法有多少种？

公式证明

n个相异的元素排成一排a1，a2，...，an。则ai(i=1，2，...，n)不在第i位的排列数为：

公式

证明：

设1，2，...，n的全排列t1，t2，...，tn的集合为I,而使ti=i的全排列的集合记为Ai(1<=i<=n)，则Dn=|I|-|A1∪A2∪...∪An|.所以Dn=n!-|A1∪A2∪...∪An|.

注意到|Ai|=(n-1)!，|Ai∩Aj|=(n-2)!，...，|A1∩A2∩...∩An|=0!=1。

由容斥原理：

Dn=n!-|A1∪A2∪...∪An|=n!-C(n,1)(n-1)!+C(n,2)(n-2)!-C(n,3)(n-3)!+...+(-1)^nC(n,n)*0!

=n!(1-1/1!+1/2!-1/3!+...+(-1)^n*1/n!)（可以举例试试，很好懂）

应用：

（1）简单排列

1个元素没有全错位排列，2个元素的全错位排列有1种，3个元素的全错位排列有2种，4个元素的全错位排列有9种，5个元素的全错位排列有44种。

递推公式

瑞士数学家欧拉按一般情况给出了一个递推公式：

用A、B、C……表示写着n位友人名字的信封，a、b、c……表示n份相应的写好的信纸。把错装的总数为记作f(n)。假设把a错装进B里了，包含着这个错误的一切错装法分两类：

（1）b装入A里，这时每种错装的其余部分都与A、B、a、b无关，应有f(n-2)种错装法。

（2）b装入A、B之外的一个信封，这时的装信工作实际是把（除a之外的）(n-1 )份信纸b、c……装入（除B以外的）n－1个信封A、C……，显然这时装错的方法有f(n-1)种。

总之在a装入B的错误之下，共有错装法f(n-2)+f(n-1)种。a装入C，装入D……的n－2种错误之下，同样都有f(n-2)+f(n-1)种错装法，因此:

f(n)=(n-1) {f(n-1)+f(n-2)}（代码实现的时候这个递推公式很重要）

公式可重新写成 f(n)-nf(n-1)=-[f(n-1)-(n-1)f(n-2)] (n>2)

于是可以得到

f(n)-nf(n-1)=-[f(n-1)-(n-1)f(n-2)]

=((-1)^2)[f(n-2)-(n-2)f(n-3)]

=((-1)^3)[f(n-3)-(n-3)f(n-4)]

=……

=[(-1)^(n-2)][f(2)-2f(1)]

最终得到一个更简单的递推式 f(n)=nf(n-1)+(-1)^(n-2)

或者等价式 f(n)=nf(n-1)+(-1)^(n) n=2,3,4……

（2）概率和极限：

有n封不同的信，和n个信封印上了相应的地址。将这n封信放入n个信封中。

 A）求至少有一封信刚好放进正确信封中的概率p_n

 B）当n趋向于无穷大时，p_n的极限是多少？

刚看完题目第一印象感觉蛮简单，求至少有一封，那就先求出一封都不对的概率，然后用1减之就可以了。可一封都不对的排列数是多少想了许久也没有想出，回来后请教了不少朋友也没能给出正确答案。最终通过网络提问知道了正确答案。

原来这是有名的“装错信封问题”，它是由著名数学家约翰·伯努利(Johann Bernoulli，1667－1748)的儿子丹尼尔·伯努利(DanidBernoulli，1700－1782)提出来的，大意如下：

个人写了n封不同的信及相应的n个不同的信封，他把这n封信都装错了信封，问都装错信封的装法有多少种？

结论是：n!(1-1/1!+1/2!-1/3!+...+(-1)^n*1/n!)所以原题解答过程为：

应用举例：

神、上帝以及老天爷（组合数学，全错位排列）

Problem Description

HDU 2006'10 ACM contest的颁奖晚会隆重开始了！
为了活跃气氛，组织者举行了一个别开生面、奖品丰厚的抽奖活动，这个活动的具体要求是这样的：

首先，所有参加晚会的人员都将一张写有自己名字的字条放入抽奖箱中；
然后，待所有字条加入完毕，每人从箱中取一个字条；
最后，如果取得的字条上写的就是自己的名字，那么“恭喜你，中奖了！”

大家可以想象一下当时的气氛之热烈，毕竟中奖者的奖品是大家梦寐以求的Twins签名照呀！不过，正如所有试图设计的喜剧往往以悲剧结尾，这次抽奖活动最后竟然没有一个人中奖！

我的神、上帝以及老天爷呀，怎么会这样呢？

不过，先不要激动，现在问题来了，你能计算一下发生这种情况的概率吗？

不会算？难道你也想以悲剧结尾？！

 

Input

输入数据的第一行是一个整数C,表示测试实例的个数，然后是C 行数据，每行包含一个整数n(1<n<=20),表示参加抽奖的人数。

 

Output

对于每个测试实例，请输出发生这种情况的百分比，每个实例的输出占一行, 结果保留两位小数(四舍五入)，具体格式请参照sample output。

 

Sample Input

12

 

Sample Output

50.00%

 

一开始我陷入了一个错误的想法：有n个人，第1个人有n-1种取法（不能去自己的），第2个人有n-2种取法（减去去自己的字条和1取得的那张）……事实上，若第1个人取了第2个人的字条。第2个人应有n-1种取法！

<span style="color:#000000;">#include <iostream>using namespace std;int main(){int c,n,i;//定义为double型就不需使用long long，同时输出不需要转换类型 double b[21]={0,1,2,6,24,120,720},a[21]={0,0,1,2};//计算全错位排列数 for(i=4;i<21;i++){a[i]=(i-1)*(a[i-1]+a[i-2]);}//计算阶乘 for(i=7;i<21;i++){b[i]=i*b[i-1];}cin>>c;while(c--){cin>>n;printf("%.2lf%%\n",100*a[n]/b[n]);//输出用printf比cout方便得多}return 0;}</span>

应用2：

题目网址：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2068

思路：从全部中选出一半以上的数目遍历，与选出来的全部正确剩下的全部排错，也就是剩下的对应错排，很简单，但是开始却出现上一题中的错误理解。。。

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>#include <string>#include <algorithm>#include <cstdlib>using namespace std;int main (){   int m;   __int64 C[30][30],wrongqueue[15]={0,0,1,2};//C[][]为组合，wrongqueue为全错位排列  [0]用不到   for(int i=1;i<=25;i++){      C[i][1]=i;      C[i][0]=1;      for(int j=2;j<=i;j++){      C[i][j]=C[i][j-1]*(i-j+1)/j;      } }   for(int i=3;i<=12;i++)      wrongqueue[i]=(i-1)*(wrongqueue[i-1]+wrongqueue[i-2]);    scanf("%d",&m);   while(m!=0){   __int64 sum=0;   if(m%2==0)   for(int i=m/2;i<m;i++)   sum=sum+C[m][i]*wrongqueue[m-i];   else   for(int i=m/2+1;i<m;i++)   sum=sum+C[m][i]*wrongqueue[m-i];        printf("%I64d\n",sum+1);scanf("%d",&m);}return 0;} 

另：仔细看来看和我的思路一样，只不过我的在求Cnm的时候打表了，还有他的sum类型是double（其实和long long int 是一样长的位数）

#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <string.h>#include <iostream>#include <math.h>using namespace std;int a[21];double PaC(int n, int m)                   //Permutation and combination.{    double s=1,i;   //小技巧,doulbe型的定义     for(i=0;i<m;i++)        s*=(n-i)/(i+1);    return s;}void init()                           //错排的序列 {    int i;    a[0]=0;a[1]=0;a[2]=1;    for(int i=3;i<=21;i++)      a[i]=(a[i-1]+a[i-2])*(i-1);    return ;}int main(){    int N,i;    double sum;    init();    while(~scanf("%d",&N),N)    {        int m;        sum=0;        if(N%2==0)            m=N/2;        else            m=N/2+1;        for(i=m;i<N;i++)            sum+=PaC(N, i)*a[N-i];            //Cnm*a[N-m];即从中选出m个正确的，则有n-m个错排的。根据分步计数原理可知。         printf("%lld\n",(long long int)(sum+1));//    }    return 0;}