全错位排列

       

   错排问题：组合数学中的问题之一。考虑一个有n个元素的排列，若一个排列中所有的元素都不在自己原来的位置上，那么这样的排列就称为原排列的一个错排。 n个元素的错排数记为D_n。最早研究错排问题的是尼古拉·伯努利和欧拉，因此历史上也称为伯努利-欧拉的装错信封的问题。

   递推数列：显然D₁=0，D₂=1。当n≥3时，不妨设n排在了第k位，其中k≠n，也就是1≤k≤n-1。那么我们现在考虑第n位的情况。

• 当k排在第n位时，除了n和k以外还有n-2个数，其错排数为D_n-2。
• 当k不排在第n位时，那么将第n位重新考虑成一个新的“第k位”，这时的包括k在内的剩下n-1个数的每一种错排，都等价于只有n-1个数时的错排（只是其中的第k位会换成第n位）。其错排数为D_n-1。

  所以当n排在第k位时共有D_n-2+D_n-1种错排方法，又k有从1到n-1共n-1种取法，我们可以得到：

D_n=(n-1)(D_n-1+D_n-2)

或者换一种考虑方式：

     （1）如果前N-1个数满足错排，则第N个数与其他N-1个数中的任意一个交换，也满足错排。 
    （2）如果前N-1个数不满足错排，而第N个数与其中一个数交换后恰好满足错排。 【这种情况发生在原先N-1数中，N-2个数满足错排 】

    通项公式：

    简化公式：

文章来源

复制去Google翻译翻译结果

DN =（N-1）（DN-1 +DN-2）