正态分布和椭圆、椭球

来源:互联网 发布:iphone6s蜂窝数据设置 编辑:程序博客网 时间:2024/03/29 01:15
正态分布和椭圆、椭球

2007.12.17修正了程序中的一个错误,椭圆恢复时的旋转矩阵应该是inv(V)。

二元正态分布(高斯分布)的等概率曲线是一个椭圆,而三元正态分布的等概率曲面是一个椭球。本文的目的是在已知概率分布参数(均值向量μ和协方差阵Σ)的情况下,在MATLAB中绘出等概率椭圆或椭球。
多元正态分布(multivariate normal distribution )的概率密度:

很显然,其等概率密度曲面方程为

协方差矩阵作特征值分解:[V,D] = eig(Σ);使得
,即
因为,所以
代入等概率方程,可以得到

作变量代换, ,得到;
二元分布的情况下,y为包含两个元素的列向量,。D为对角阵,两个对角线元素分布为d1,d2;则上式可写为标准的椭圆方程

实际上,我们对原始椭圆作一个平移变换(x-μ)和一个旋转变换(V*),可以使其中心平移到原点,长短轴的方向与坐标轴重合。而绘等概率椭圆的过程则与此相反,先用标准的椭圆方程产生组成曲线的离散点,然后经过相反的旋转变换和平移,得到原始的椭圆。

举例来说,首先,设置二维正态分布的参数,均值和协方差,并用mvnrnd产生一组符合此分布的随机数。
Mu = [2 3]';
Sigma = [0.9 0.4;0.4 0.2];
p = mvnrnd(Mu,Sigma,100);
plot(p(:,1),p(:,2),'.','MarkerSize',6)
设置半径,进行特征值分解
r =1;
[V,D] = eig(Sigma);
用linspace产生一个坐标轴(y)上的一组等间隔离散坐标值,再根据标准椭圆方程产生对应的x的坐标。
y = linspace(-sqrt(r^2*D(2,2)),sqrt(r^2*D(2,2)),60);
% compute x
x(1,:) = sqrt((r^2-y(:).^2/D(2,2))*D(1,1));
x(1,:) = real(x(1,:));
这只产生了半个椭圆,还要产生另一半(注意两条曲线的坐标旋转方向要一致),然后旋转,平移,画图:
Ellip = [x,-x(1,:)]; % x
Ellip(2,:) = [y,fliplr(y)]; %y
Ellip = Ellip'*inv(V); % rotate
Ellip(:,1) = Ellip(:,1)+Mu(1); %shift
Ellip(:,2) = Ellip(:,2)+Mu(2);
hold on;
plot(Ellip(:,1),Ellip(:,2));

plot(Mu(1),Mu(2),'+'); %Plot center
最终的效果:




另外,在对原始椭圆做旋转变换时,如果在V的前面再乘以一项,改为,则椭圆会变为圆。对多元正态分布的随机变量应用此变换,则其分布在各个方向上也变为均匀的。这就是信号处理中的白化变换。

三维正态分布的等概率曲面为椭球,其绘制过程也是类似的。
产生1/8曲面
xhalf = linspace(sqrt(r^2*D(1,1)),0,Nint);
Ninthalf = round(Nint/2);
zsect = zeros(Nint,Ninthalf);
ysect = zeros(Nint,Ninthalf);
for ti = 1:Nint
r2d = r^2 - xhalf(ti).^2/D(1,1);
ysect(ti,:) = linspace(0,sqrt(r2d*D(2,2)),Ninthalf);

zsect(ti,:) = sqrt((r2d - ysect(ti,:).^2/D(2,2) )*D(3,3));
xsect(ti,1:Ninthalf) = xhalf(ti);
end
zsect = real(zsect);
通过镜像产生1/4
%x>0,Z>0
xsect = [xsect,xsect];
ysect = [ysect,fliplr(ysect)];
zsect = [zsect,-fliplr(zsect)];
1/2
%x>0
xsect = [xsect,xsect];
ysect = [ysect,-fliplr(ysect)];
zsect = [zsect,fliplr(zsect)];
1/1
% make it a whole
xsect = [xsect;-flipdim(xsect,1)];
ysect = [ysect;flipdim(ysect,1)];
zsect = [zsect;flipdim(zsect,1)];
旋转、平移,完成。
% rotate
[lr,lc] = size(xsect);
for ti = 1:lr
for tj = 1:lc
newcodi = [xsect(ti,tj),ysect(ti,tj),zsect(ti,tj)]*inv(V);
xsect(ti,tj) = newcodi(1);
ysect(ti,tj) = newcodi(2);
zsect(ti,tj) = newcodi(3);
end
end
% shift
xsect = xsect+Mu(1);
ysect = ysect+Mu(2);
zsect = zsect+Mu(3);
surf(xsect,ysect,zsect);

 
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