初识FFT和NTT

来源:互联网 发布:网络诈骗举报电话多少 编辑:程序博客网 时间:2024/03/29 05:05

看了很久文档,觉得自己只学会了套模板的能力,理解的代码是怎么写,还有一点原理,看完现在来推一下原理估计又不会了!难过

学这个的原因是因为codechef的一道题目,可惜现在还是没有解决难过,谁会了求教  点击打开链接

看了  ACdream   的博客,觉得不够详细,而且看了之后根本看不懂代码里面写的什么鬼,之后找了     一份题解 

然后在百度文库找到了一篇讲得很详细的     文档    ,看玩总算理解了那么一点点!难过

ps:这里我只能写一点代码要做什么,原理不敢亵渎!

1、首先是反转置换,将一个2的n次幂长度的分成两个,奇数是一组,偶数是一组,然后一次递归下去,直到长度为1,这样每个元素的位置会去到他二进制反转之后变成是十进制的位置,做置换可以采用rader算法线性实现!一下引用上面链接博客的一张图:


其实为什么这样想想也很明显,将位置pos编号换成二进制,初始化ans_pos=0,ans依次做位运算右移,低位为0的时候走向二叉树的左儿子,否则是右儿子,而ans_pos依次左移,向二叉树左儿子走的时候末尾补0,否则补1,这样ans_pos的二进制就和刚开始ans的二进制是相反的

rader算法代码如下:

///雷德算法,2^M=len,将第i位的数与“i的二进制反转之后的位”的数交换void rader(complex *F,int len){    int j=len/2;///模拟二进制反转进位的的位置    for(int i=1;i<len-1;i++)    {        if(i<j)swap(F[i],F[j]);///该出手时就出手        int k=len/2;        while(j>=k)        {            j-=k;            k>>=1;        }        if(j<k)j+=k;    }}


然后抄了份模板,具体解释就看上面链接ppt的解释,非常详细:

const int N = 500005;const double pi = acos(-1.0);struct complex{///复数类    double real,imag;    complex (double r=0.0,double i=0.0)    {        real=r;        imag=i;    }    complex operator + (const complex &x)    {        return complex(x.real+real,x.imag+imag);    }    complex operator - (const complex &x)    {        return complex(real-x.real,imag-x.imag);    }    complex operator * (const complex &x)    {        return complex(x.real*real-x.imag*imag,imag*x.real+real*x.imag);    }}vara[N],varb[N];void FFT(complex *F,int len,int t){    rader(F,len);    for(int h=2;h<=len;h<<=1)///L from 1 to M,2^M=len    {        ///J_product_two_power_of_M_subtract_L        ///M_subtract_L_product_h_equals_to_len        complex wn(cos(t*2*pi/h),sin(t*2*pi/h));///公比        for(int j=0;j<len;j+=h)        {            complex E(1,0);///螺旋因子            for(int k=j;k<j+h/2;k++)            {                complex u=F[k];///蝶型操作                complex v=E*F[k+h/2];                F[k]=u+v;///前半部分                F[k+h/2]=u-v;///后半部分                E=E*wn;            }        }    }    if(t==-1)///IDFT    for(int i=0;i<len;i++)        F[i].real/=len;}


NTT也是搞一发模板:

ACdream 点击打开链接

点击打开链接这个一份好的解释看完可以了解一二了


大数运算NTT:

const int N = 400005;const int g=3;const long long MOD=(479<<21)+1;int len;char A[N],B[N];long long a[N],b[N],qp[30];long long q_pow(long long x,long long y,long long P){    long long ans=1;    while(y>0)    {        if(y&1)ans=ans*x%P;        x=x*x%P;        y>>=1;    }    return ans;}void init(){    len=1;    for(int i=0;i<21;i++)    {        int t=1<<i;        qp[i]=q_pow(g,(MOD-1)/t,MOD);    }    int len1=strlen(A);    int len2=strlen(B);    while(len<=2*len1||len<=2*len2)len<<=1;    for(int i=0;i<len1;i++)a[len1-i-1]=A[i]-'0';    for(int i=len1;i<len;i++)a[i]=0;    for(int i=0;i<len2;i++)b[len2-i-1]=B[i]-'0';    for(int i=len2;i<len;i++)b[i]=0;}///雷德算法,2^M=len,将第i位的数与“i的二进制反转之后的位”的数交换void rader(long long F[],int len){    int j=len/2;///模拟二进制反转进位的的位置    for(int i=1;i<len-1;i++)    {        if(i<j)swap(F[i],F[j]);///该出手时就出手        int k=len/2;        while(j>=k)        {            j-=k;            k>>=1;        }        if(j<k)j+=k;    }}void NTT(long long F[],int len,int t){    int id=0;    rader(F,len);    for(int h=2;h<=len;h<<=1)    {        id++;        for(int j=0;j<len;j+=h)        {            long long E=1;///原根次幂            for(int k=j;k<j+h/2;k++)            {                long long u=F[k];///蝶型操作                long long v=(E*F[k+h/2])%MOD;                F[k]=(u+v)%MOD;///前半部分                F[k+h/2]=((u-v)%MOD+MOD)%MOD;///后半部分                E=(E*qp[id])%MOD;            }        }    }    //p(F);    if(t==-1)///插值    {        for(int i=1;i<len/2;i++)swap(F[i],F[len-i]);///i+lne-i=i;        long long inv=q_pow(len,MOD-2,MOD);///逆元        for(int i=0;i<len;i++)F[i]=(F[i]%MOD*inv)%MOD;    }    //p(F);}void work()///卷积,点乘,插值{    NTT(a,len,1);    NTT(b,len,1);    for(int i=0;i<len;i++)        a[i]=(a[i]*b[i])%MOD;    NTT(a,len,-1);}void pushup()///进位{    for(int i=0;i<len;i++)    {        if(a[i]>=10)        {            a[i+1]+=a[i]/10;            a[i]=a[i]%10;        }    }}void print()///输出{    int high=0;    for(int i=len-1;i>=0;i--)    {        if(a[i])        {            high=i;            break;        }    }    for(int i=high;i>=0;i--)printf("%lld",a[i]);    puts("");}


hdu1402

点击打开链接

#include <iostream>#include <string.h>#include <algorithm>#include <stdio.h>#include <math.h>using namespace std;const int N = 400005;const double pi = acos(-1.0);const int g=3;//const int len=1<<18;const long long MOD=(479<<21)+1;int len;char A[N],B[N];long long a[N],b[N],qp[30];void p(long long a[]){    for(int i=0;i<len;i++)printf("%lld ",a[i]);puts("");}long long q_pow(long long x,long long y,long long P){    long long ans=1;    while(y>0)    {        if(y&1)ans=ans*x%P;        x=x*x%P;        y>>=1;    }    return ans;}void init(){    len=1;    for(int i=0;i<21;i++)    {        int t=1<<i;        qp[i]=q_pow(g,(MOD-1)/t,MOD);    }    int len1=strlen(A);    int len2=strlen(B);    while(len<2*len1||len<2*len2)len<<=1;    for(int i=0;i<len1;i++)a[len1-i-1]=A[i]-'0';    for(int i=len1;i<len;i++)a[i]=0;    for(int i=0;i<len2;i++)b[len2-i-1]=B[i]-'0';    for(int i=len2;i<len;i++)b[i]=0;}void rader(long long F[],int len){    int j=len/2;    for(int i=1;i<len-1;i++)    {        if(i<j)swap(F[i],F[j]);        int k=len/2;        while(j>=k)        {            j-=k;            k>>=1;        }        if(j<k)j+=k;    }}void NTT(long long F[],int len,int t){    int id=0;    rader(F,len);    for(int h=2;h<=len;h<<=1)    {        id++;        for(int j=0;j<len;j+=h)        {            long long E=1;            for(int k=j;k<j+h/2;k++)            {                long long u=F[k];                long long v=(E*F[k+h/2])%MOD;                F[k]=(u+v)%MOD;                F[k+h/2]=((u-v)%MOD+MOD)%MOD;                E=(E*qp[id])%MOD;            }        }    }    //p(F);    if(t==-1)    {        for(int i=1;i<len/2;i++)swap(F[i],F[len-i]);        long long inv=q_pow(len,MOD-2,MOD);        for(int i=0;i<len;i++)F[i]=(F[i]%MOD*inv)%MOD;    }    //p(F);}void work(){    NTT(a,len,1);    NTT(b,len,1);    for(int i=0;i<len;i++)        a[i]=(a[i]*b[i])%MOD;    NTT(a,len,-1);}void pushup(){    for(int i=0;i<len;i++)    {        if(a[i]>=10)        {            a[i+1]+=a[i]/10;            a[i]=a[i]%10;        }    }}void print(){    int high=0;    for(int i=len-1;i>=0;i--)    {        if(a[i])        {            high=i;            break;        }    }    for(int i=high;i>=0;i--)printf("%lld",a[i]);    puts("");}int main(){    while(~scanf("%s%s",A,B))    {        init();        work();        pushup();        print();    }    return 0;}



0 0
原创粉丝点击