极限

怎样给极限下定义，是对当时数学家的一次挑战。
　　牛顿在研究物体运动的速度时，产生了极限的概念。
　　在小学里，我们所学的速度公式是：速度＝路程/时间。
　　这一公式所求得的速度叫平均速度，就是说在这段时间里，认为速度完全相同。
　　然而，在许多情形，这种对速度的描述与实际相差太大。比如说，自由落体的速度，当开始下落时，速度很小，越接近地面速度越大，用平均速度来描述，误差太大。
　　牛顿认为，速度是时间的因变量。也就是说，随着时间改变，速度也在改变，通常就说，速度是时间的函数。而每一时刻的速度叫瞬时速度。
　　怎么求瞬时速度？传统的方法显然不行，瞬时，就是时间为零，速度＝路程/时间，分母为零，速度没有意义。牛顿给出了这样一个方法：要求某一时刻的速度，可以先求这一时刻前一段时间的平均速度，比如说，前一小时的平均速度，记为v1；然后，再取前半小时的平均速度，记为v2；再取前1/4小时的平均速度，记为v3；……；这样我们可以得到一个数列，v1、v2、v3、……，如果这个数列有极限，这个极限就是这个时刻的瞬时速度。
　　于是，求瞬时速度转化成了求极限。那么，什么叫做极限？
　　我们很容易看出有些数列有极限，比如，1、1/2、1/4、……，我们知道这个数列有极限，极限为零。有些数列明显没有极限，比如，1、-1、1、-1、……，我们知道这个数列没有极限。可是其它数列呢？比如：3、3.1、3.14、……，这个数列有没有极限？我们怎么来判别这个数列有极限，还是没有极限？
　　牛顿给出的极限定义说：如果数列的项n充分大后，这个项值与某个数的差可以无限小，那么这个数就是这个数列的极限。
　　数学家不满意这样的定义，什么叫充分大，什么叫无限小？这不是数学意义的定义，数学要求用已知定义未知。牛顿求瞬时速度的方法是一种过程、一种运动，用传统的方法来定义极限显然不行。
　　物理学家认为，运动是绝对的，但是运动的描述是相对的。比如说，我们怎么来描述汽车的运动？如果我们这样想：汽车在地球上行驶，地球在自转，地球又绕着太阳转，太阳又在银河系中运动，……，那么，我们就会沮丧地说，我们不知道汽车在怎么运动。
　　但是，如果我们把地球看成相对静止，那么，我们可以简单地得出结论，汽车相对于地球，在做直线运动。
　　于是数学家这样来解释充分大和无限小：随便你给出一个多小的正数，我总能找到一个N，在这个N以后的项，每个项值与某数的差，比你给出的数要小。
　　这是一个无懈可击的定义，它用传统语言描述了极限过程。更令数学家兴奋不已的是，牛顿的方法，给出了解决问题的一种新思路。
　　如果我们不能一下子给出一个问题的精确解，我们可以先给出一个近似解，如果我们能找到一个过程，使近似解逐步逼近精确解，就可以解决问题。
　　牛顿的瞬时速度发展成了微分学。
　　莱布尼兹用几个矩形面积的和，来做曲边梯形面积的近似值，然后不断细分来逼近精确值，最后求得曲边梯形的面积。这一方法发展为积分学。
　　麦克劳林、泰勒、傅立叶用多项式或三角多项式来近似一般的函数，发展为级数理论。
　　所有这些，发展为一门数学分支——数学分析。
　　有些人把数学分析的一些应用，称为高等数学，作为理工科的必修课程。
　　过程、逼近、极限构成了现代数学的分析思想。