贝尔数&&斯特灵数&&调和数&&伯努利数

贝尔数
1.定义：Bn是基数为n的集合的划分方法的数目。
2.递推式：Bn+1=∑nk=0(nk)Bk
3.性质：
1)Bn=∑nk=1S(n,k).
S(n,k)为第二类斯特灵数：把基数为n的集划分为正好k个非空集的方法的数目。
2）Bp+n≡Bn+Bn+1 (mod p).

斯特灵数
1.第一类：第一类Stirling数是有正负的，其绝对值是n个元素的项目分作k个环排列的方法数目
s(n,k)=s(n−1,k−1)+(n−1)s(n−1,k)

性质：
1.|s(n,1)|=(n−1)!
2.s(n,2)=(−1)n(n−1)!Hn−1
3.xn−=x(x−1)(x−2)…(x−n+1)=∑nk=1s(n,k)xk

2.第二类：第二类Stirling数是n个元素的集定义k个等价类的方法数目S(n,k)=S(n−1,k−1)+kS(n−1,k)

性质：
1.S(n,n−1)=C(n,2)=n(n−1)/2 证略
2.S(n,2)=2n−1−1 证略
3.S(n,k)=1k!∑kj=1(−1)k−jC(k,j)jn

调和数
1.Hn=1+12+13+⋯+1n=∑nk=11k

2.∑nk=1Hk=(n+1)Hn−n

伯努利数
1.伯努利多项式：
∑m−1k=0kn=0n+1n+2n+⋯+(m−1)n

2.∑m−1k=0kn=1n+1∑nk=0(n+1k)Bkmn+1−k

3.递推式：∑mj=0(m+1j)Bj=0