环
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环
- 环:
- 两种运算
+,⋅ - 对加法做成交换群
- 对乘法做成幺半群
- 乘法对加法的分配律成立
- 两种运算
- 例子:零环、整数环、一元多项式环、全矩阵环
0⋅a=0 - 如果环中的元素多于一个,那么环中的
0 是不可逆的,因为0⋅a=0,1≠0 - 除环:每一个非零元都可逆,也叫体。除环的乘法满足消去律。
- 零因子:非零元素的乘积为
0 ,互为零因子 - 整环:没有零因子的交换环。整环的乘法满足消去律。
- 子环:含有乘法单位元,对原来的运算构成环。
- 有单位元
1 - 对减法封闭
- 对乘法封闭
- 有单位元
- 例子
Z[m−−√]={a+bm−−√|a,b∈Z} .交换、整环,实数域的子环 - 域的子环一定是除环。
同态
- 同态:保持运算;
1 映射到1′ - 单同态,满同态,同构
φ:R→R′ 是满同态⇔φ(R)=R′ φ:R→R′ 是单同态⇔Kerφ={0} - 子环的像是子环
- 不能将
1 映射成0 ,否则像是零环。因此同态核虽然是加法子群,但是不是子环。 - 理想:加法子群、对环中任意的元素,左乘右乘该子群得到的都是该子群子集。
- 非平凡的理想中没有可逆元。(否则
1 在理想中,进而所有的元素都在理想中) - 单环:只有平凡理想的环。
- 除环(域)一定是单环。
- 从单环到非零环的同态一定是单同态。
Kerφ 是环的理想,要么是零环要么是自身;零环则单同态,自身则单位元映射到零则为像零环。 - 理想作为加法子群为交换群,所以理想是正规子群(交换群的子群都是正规子群),可以作商群。在商群中可以定义乘法。该商群构成环,为商环。
- 环到商环的自然同态
η:R→R/S,a↦a+S - 商环是同态像。
- 理想是同态核。
环同态基本定理(同态像是商环):
R/Kerφ≅φ(R)
证明:首先是一个群同构(同态基本定理),其次证明它乘法保持运算,再证单位元映成单位元。理想是正规子群在环中的推广,但是理想不是子环。
主理想:环中单个元素左乘环得到的理想。
全矩阵环只有平凡理想,即为单环。
proof
设N 是一个Mn(F) 的非零理想,证明任一个元素都在N 中。
N 为非零理想,则存在非零元A=(aij)n×n ,则存在1≤l,k≤n ,使得alk≠0 ,
所以a−1lkellAekk=elk∈N (理想的性质),
所以任意的i,j,eilelkekj=eij∈N ,
所以任意的B∈N, B=∑ijbijeij=∑ijbij(eii)eij∈N 域上的一元多项式环的理想都是主理想。
- 整数环的每个理想也是主理想。
- 主理想整环:每个理想都是主理想的整环。
理想的和
极大理想:没有真包含该理想的其他非平凡理想。
- 定理:交换环的理想做成的商环是域当且仅当极大理想。
几类重要的环
四元数除环
M2(C) 复数域上2 阶方阵的全矩阵环。H={(α−β¯βα¯),α=a+bi,β=c+di} 是M2 的子环,并且构成除环。E=(1001),I=(i00−i),J=(0−110),K=(0ii0),E,I,J,K∈H.∀A∈H,A=aE+bI+cJ+dK - 不满足交换律,交换除环。
Wedderburn 定理:有限除环都是域。Q={±E,±I,±J,±K} 四元数群,非交换群,二面体群8个元素也不交换,并且和这个不同构。
整数模n 的剩余类环
- 整数环的每个理想K都是主理想,即存在自然数
n ,使得,K=(n)=nZ - 定理:整数环
Z 的理想为极大理想当且仅当n 为素数。
多项式环
Z[x] 构成环(可以看作是有理数域上多项式环的子环)。- 根据
Z 到Zp 的自然同态a↦a¯ ,构造Z[x] 到Zp[x] 的自然同态f(x)=∑i=0kaixi↦f¯(x)=∑i=0ka¯ixi Eisenstein 判别法:p 不整除首项系数p 整除所有其他系数p2 不整除常数项系数
则该多项式在Q[x] 上不可约。
- 例:对任意的素数
p ,xn+p 在Q[x] 中不可约,进而在Q[x] 上存在任意阶不可约多项式。
F[x] 模某个理想的剩余类环
k¯≠0¯,k¯∈Zn ,则k¯ 是Zn 中的可逆元当且仅当k 与n 互素。Zn 中全体可逆元构成一个群,阶为φ(n) Euler−Fermat 定理aφ(n)≡1(modn)
域上的多项式环- 有带余除法;2. 是主理想整环。
- 定理:
F[x] 的理想(f(x)) 为极大理想当且仅当f(x) 为不可约多项式。
域的扩张
域的扩张
- 子域:子集,在原运算下构成域。
- 扩域:域是其子域的扩域。
- 通过域上多项式环的模去某个理想得到子域实现扩域。
- 嵌入:域到该子域的同构
- 例子:实数域
→ 实数域上的多项式环→ 实数域上多项式环模去任一个二次不可约多项式得到的子环(复数域)→ 在复数域中嵌入实数域即实现了扩域
有限域
- 通过扩域,可以把
q 阶的有限域扩充到qn 阶的有限域。 例子:借助
Z2[x] 中的不可约多项式x3+x+1 构造8元域{0,1,x,1+x,x2,1+x2,x+x2,1+x+x2} 许多问题在扩域上解决。比如实数域上多项式可以分解成一次二次多项式。
添加元素的扩域
- 添加元素的扩域(单扩域)
- 添加集合的扩域
扩域作为线性空间
E 是F 的扩域,把F 对E 的乘法看成数量乘法,则E 成为F 上的线性空间- 扩张次数,即维数,记作
[E:F] 。 - 望远镜法则:
E⊂H⊂E 是域扩张,则[E:F]=[E:H][H:F]
proof
1. If[H:F]=∞,
∀N∈Z+,∃线性无关α1,α2,⋯,αN∈H
⇒α1,α2,⋯,αN∈E
⇒[E:F]=∞
2. If[E:H]=∞, 反设[E:F]=n,...
3. If[E:H]=n,[H:F]=m,e1,e2,⋯,en,f1,f2,⋯,fm are basis.
∀e∈E, e=∑i=1nliei=∑i=1n∑j=1mcijeifj
is a linear combination ofeifj .
Assume∑i=1n∑j=1maijeifj=0 ⇒li=0,i=1,2,...,n⇒∑mj=1aijei=0⇒aij=0
⇒eifj are linear independent.
so[E:F]=mn=[E:H][H:F]
代数扩张
- 代数元:是
F 上非零多项式的根。 - 超越元:非代数元。
- 代数扩张:扩域的元都是代数元的扩张。
- 定理:
F⊂E 是域扩张,如果[E:F]<∞ ,那么是代数扩张。
Thanks to Prof. Rongquan Feng
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- 约瑟夫环
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