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    • 两种运算+,
    • 对加法做成交换群
    • 对乘法做成幺半群
    • 乘法对加法的分配律成立
  • 例子:零环、整数环、一元多项式环、全矩阵环
  • 0a=0
  • 如果环中的元素多于一个,那么环中的0是不可逆的,因为0a=0,10
  • 除环:每一个非零元都可逆,也叫。除环的乘法满足消去律。
  • 零因子:非零元素的乘积为0,互为零因子
  • 整环:没有零因子的交换环。整环的乘法满足消去律。
  • 子环:含有乘法单位元,对原来的运算构成环。
    1. 有单位元1
    2. 对减法封闭
    3. 对乘法封闭
  • 例子Z[m]={a+bm|a,bZ} .交换、整环,实数域的子环
  • 域的子环一定是除环。

同态

  • 同态:保持运算;1映射到1
  • 单同态满同态同构
  • φ:RR是满同态φ(R)=R
  • φ:RR是单同态Kerφ={0}
  • 子环的像是子环
  • 不能将1映射成0,否则像是零环。因此同态核虽然是加法子群,但是不是子环。
  • 理想:加法子群、对环中任意的元素,左乘右乘该子群得到的都是该子群子集。
  • 非平凡的理想中没有可逆元。(否则1在理想中,进而所有的元素都在理想中)
  • 单环:只有平凡理想的环。
  • 除环(域)一定是单环。
  • 从单环到非零环的同态一定是单同态。
    Kerφ是环的理想,要么是零环要么是自身;零环则单同态,自身则单位元映射到零则为像零环。
  • 理想作为加法子群为交换群,所以理想是正规子群(交换群的子群都是正规子群),可以作商群。在商群中可以定义乘法。该商群构成环,为商环。
  • 环到商环的自然同态
    η:RR/S,aa+S

    1. 商环是同态像。
    2. 理想是同态核。
  • 环同态基本定理(同态像是商环):

    R/Kerφφ(R)

    证明:首先是一个群同构(同态基本定理),其次证明它乘法保持运算,再证单位元映成单位元。

  • 理想是正规子群在环中的推广,但是理想不是子环。

  • 主理想:环中单个元素左乘环得到的理想。

  • 全矩阵环只有平凡理想,即为单环。

    proof
    N是一个Mn(F)的非零理想,证明任一个元素都在N中。
    N为非零理想,则存在非零元A=(aij)n×n,则存在1l,kn,使得alk0
    所以a1lkellAekk=elkN(理想的性质),
    所以任意的i,j,eilelkekj=eijN
    所以任意的BN,

    B=ijbijeij=ijbij(eii)eijN

  • 域上的一元多项式环的理想都是主理想。

  • 整数环的每个理想也是主理想。
  • 主理想整环:每个理想都是主理想的整环。
  • 理想的和

  • 极大理想:没有真包含该理想的其他非平凡理想。

  • 定理:交换环的理想做成的商环是域当且仅当极大理想。

几类重要的环

四元数除环

  • M2(C)复数域上2阶方阵的全矩阵环。
  • H={(αβ¯βα¯),α=a+bi,β=c+di}M2的子环,并且构成除环。
    E=(1001),I=(i00i),J=(0110),K=(0ii0),E,I,J,KH.AH,A=aE+bI+cJ+dK
  • 不满足交换律,交换除环。
  • Wedderburn定理:有限除环都是域。
  • Q={±E,±I,±J,±K}四元数群,非交换群,二面体群8个元素也不交换,并且和这个不同构。

整数模n的剩余类环

  • 整数环的每个理想K都是主理想,即存在自然数n,使得,K=(n)=nZ
  • 定理:整数环Z的理想为极大理想当且仅当n为素数。

多项式环

  • Z[x]构成环(可以看作是有理数域上多项式环的子环)。
  • 根据ZZp的自然同态aa¯,构造Z[x]Zp[x]的自然同态
    f(x)=i=0kaixif¯(x)=i=0ka¯ixi
  • Eisenstein判别法:
    1. p不整除首项系数
    2. p整除所有其他系数
    3. p2不整除常数项系数
      则该多项式在Q[x]上不可约。
  • 例:对任意的素数pxn+pQ[x]中不可约,进而在Q[x]上存在任意阶不可约多项式。

F[x]模某个理想的剩余类环

  • k¯0¯,k¯Zn,则k¯Zn中的可逆元当且仅当kn互素。
  • Zn中全体可逆元构成一个群,阶为φ(n)
  • EulerFermat定理
    aφ(n)1(modn)

    域上的多项式环
    1. 有带余除法;2. 是主理想整环。
  • 定理:F[x]的理想(f(x))为极大理想当且仅当f(x)为不可约多项式。

域的扩张

域的扩张

  • 子域:子集,在原运算下构成域。
  • 扩域:域是其子域的扩域。
  • 通过域上多项式环的模去某个理想得到子域实现扩域。
  • 嵌入:域到该子域的同构
  • 例子:实数域实数域上的多项式环实数域上多项式环模去任一个二次不可约多项式得到的子环(复数域)在复数域中嵌入实数域即实现了扩域

有限域

  • 通过扩域,可以把q阶的有限域扩充到qn阶的有限域。
  • 例子:借助Z2[x]中的不可约多项式x3+x+1构造8元域{0,1,x,1+x,x2,1+x2,x+x2,1+x+x2}

  • 许多问题在扩域上解决。比如实数域上多项式可以分解成一次二次多项式。

添加元素的扩域

  • 添加元素的扩域(单扩域)
  • 添加集合的扩域

扩域作为线性空间


  • EF的扩域,把FE的乘法看成数量乘法,则E成为F上的线性空间
  • 扩张次数,即维数,记作[E:F]
  • 望远镜法则EHE是域扩张,则[E:F]=[E:H][H:F]

proof
1. If [H:F]=,
NZ+,线α1,α2,,αNH
α1,α2,,αNE
[E:F]=
2. If [E:H]=,反设[E:F]=n,...
3. If [E:H]=n,[H:F]=m,e1,e2,,en,f1,f2,,fm are basis.
eE,

e=i=1nliei=i=1nj=1mcijeifj

is a linear combination of eifj.
Assume
i=1nj=1maijeifj=0
li=0,i=1,2,...,nmj=1aijei=0aij=0
eifj are linear independent.
so [E:F]=mn=[E:H][H:F]

代数扩张

  • 代数元:是F上非零多项式的根。
  • 超越元:非代数元。
  • 代数扩张:扩域的元都是代数元的扩张。
  • 定理:FE是域扩张,如果[E:F]<,那么是代数扩张。

Thanks to Prof. Rongquan Feng

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