预测

基于条件期望的预测

我们关心的是根据t期观测到的一组变量Xt预测变量Yt+1。
令Y∗t+1|t表示根据Xt作出的对Yt+1的预测。为了评价这个预测有用性，我们需要给出一个损失函数来表示当我们的预测偏离一个特定的量时我们的关心程度。通过假定一个二次损失函数，可以得到一个便利的结果。二次损失函数的含义是选择合适的Y∗t+1|t，使得

MSE(Y∗t+1|t)≡E(Yt+1−Y∗t+1|t)2

最小。MSE被称作预测值Y∗t+1|t的均方误差。
可以证明对该均方误差最小时的预测就是Xt条件下Yt+1的期望，即：

Y∗t+1|t=E(Yt+1|Xt)

基 于线性投影的预测

我们现在将所考察的预测Y∗t+1|t限定为Xt的线性函数：

Y∗t+1|t=α,Xt

假定我们求出一个α值，使得预测误差(Yt+1−α,Xt)与Xt无关：

E[(Yt+1−α,Xt)X,t]=0,

那么，则预测α,Xt称为Yt+1关于Xt的线性投影。