第4章 基纳法 阅读（PageRank的兄弟）

        基纳是一名数学家，专攻数学在生物学中的应用。基纳法和大家熟知的PageRank算法是一脉相承的。1907年到1912年间，佩隆和弗罗贝尼乌斯提出了非负矩阵理论。1993年，基纳利用非负矩阵理论构建他的评分和排名体系。1996-1998年，谷歌创始人布林和佩奇按类似于基纳的方法使用非负矩阵理论，提出了PageRank算法。

       佩隆和弗罗贝尼乌斯、基纳及其先驱以及谷歌创始人的故事说明，认可与财富更多地被给予了那些将想法应用于一个有用的目的的人，而不是那些仅仅提出某个想法的人。

        基纳法的核心是利用特征值和特征向量来进行评分和排名，其步骤如下：

1、选择体现实力的属性。例如队伍 i 击败队伍 j 的次数，或队伍 i 从队伍 j 身上取得的分数。

2、设 aij = 队伍 i 从队伍 j 身上取得的分数， 保证每个 aij 均为非负数。

3、aij 的第一次替换。利用拉普拉斯的“承续法则”，重新定义aij ， aij = ( aij+ 1 ) / ( aij + aji +2 )。

4、aij 的第二次替换。构建偏好函数h(x) = 1 / 2 + sgn{ x - (1/2) } sqrt( | 2x-1 | ) / 2 ，并进行替换aij <-- h(aij )

5、aij 的第三次替换。aij <--aij / ni （其中，ni = 队伍 i 进行的比赛场数）

6、对球队之间相互作用的程度以及由此得到的统计数据aij施加3个并不苛刻的约束。依次为非负性，不可约性，素性。

7、用幂法求取评分向量r。

     简单解释一下，第三步到第五步的3次变换，都有点归一化的味道，是为了方便在评分和实力之间建立联系。基纳法的根本是构造了一个方程Ar = λr ，矩阵A中的统计数据为 aij ，r为评分向量，λ为常量，Ar表示实力向量。

            

     如果能找到矩阵A的特征值和特征向量，就能得到评分向量r和实力向量s。为了方便解这个方程，基纳对球队之间相互作用的程度以及由此得到的统计数据 aij 施加3个并不苛刻的约束。

     1、非负性。保证每一个 aij 均非负。

     2、不可约性。做一个无向图图，结点是队伍，如果两队有过交锋，那么图中这两个结点之间有边。如果这个图是连通图，那么称这个联赛是不可约的。

     3、素性。每两只队伍都被均等数量的比赛所联系。

     如果，只施加约束1和2，可以用佩隆-弗罗贝尼乌斯定理求解方程Ar = λr，获取唯一评分向量r。由该方法求得的评分向量有一个重要性质，即每支队伍的分数 ri 在0和1之间，所有队伍的分数之和等于1。

     如果，施加以上三个约束，那么可以用一种更简单的方法求解评分向量，即幂法。

     当约束2和3不成立时，可以通过对A施加一个小的扰动并以之来替换掉原来的A。即A <--A +E ，E中的每个值都相等，该值非常小，共m*m个相等的值，m为参赛队伍数目。这一做法的效果相当于在每两支队伍之间都引入了一场虚拟比赛，这些虚拟比赛的统计数据都足够小，从而不会扭曲真实比赛中所蕴含的信息。经过扰动后，每两支队伍之间都有边，是一个完全图，所以它是连通的，每两只队伍都被1场比赛所联系，因此不可约性和素性就都得到了保证。

     基纳法中的幂法和PageRank中的幂法相似，核心步骤是重复执行r <--  Ar 步骤，直至r 收敛。

     基纳评分反映了长期胜率，但没有给出对象短期情况的任何信息，对于预测单场比赛的分差而言，它几乎毫无用处。