分期付款原理

来源:互联网 发布:在淘宝上开店步骤 编辑:程序博客网 时间:2024/03/29 06:03

在分期付款中還要瞭解分期付款的有關計算。
  1.等額償還方式

  若年初向銀行貸款D(元),準備分n期償還,每期均償還P(元),期利率為R。

  貸款一期後,本金和應為D(1+R)。

  第一次還款後剩餘款項為b1 =D(1 + R) − P,由於所剩款項要付利息,故第二次還款是在(D(1+R)-P)(1+R)的基礎上還P元,即第二期償還後剩餘款項為:

  b2 =D(1 + R)2P(1 + R) − P

  如此類推,第n期期末還P元便立即結算(不涉及複利)

  故有:b_n=D(1+R)^n-P[(1+R)^{n-1}+(1+R)^{n-2}+\cdots\cdots+1]=0

  即D(1+R)^n=P\frac{(1+R)^n-1}{R}

  從而每期應償還的數目為

  P=\frac{DR(1+R)^n}{(1+R)^n-1}

  2.不等額償還

  如果不是每期都償還P元,而是第一期還P1,第二期還P2, …第n期還Pn後,便立即結算。

  則:第一期償還後,還剩:

  D(1 + R)nP1

  第二期償還後,還剩:

  [D(1 + R)2P1](1 + R) − P2 = D(1 + R)2P1(1 + R) − P2

  第三期償還後,還剩:

  [D(1 + R)2P1(1 + R) − P2](1 + R) − P3 =D(1 + R)3P1(1 + R)2P2(1 + R) − P3

  由此類推,第n期償還Pn後,便還清所有款項即:

  D(1+R)^n-P_1(1+R)^{n-1}-P_2(1+R)^{n-2}-\cdots\cdots-P_n=0

  即D(1+R)^n=\sum_{i=1}^n P_i(1+R)^{n-i}(P\ge0)

  3.應用(等額方式)

  某用戶從21歲開始,每年存入銀行退休保險金a元,如果平均每年利息為R,直到60歲退休為止,從61歲開始每年從銀行提取2萬元,預計能連續支付40年,則該用戶在工作期間,每年存入銀行的錢款數為多少?解:第一年(21歲時)存入a元,當此用戶61歲去取時,a元就會升值到

  a(1 + R)40

  第二年又存入a元,最終升值到a(1 + R)39

  由此得出數列an

  a_1=a(1+R)^{40},a_2=a(1+R)^{39},\cdots\cdots,a_{40}=a(1+R)

  則有S_{40}=a_1+a_2+\cdots\cdots+a_{40}=a(1+R)[(1+R)^{39}+(1+R)^{38}+\cdots\cdots+1]=a(1+R)\frac{(1+R)^{40}-1}{R}

  此用戶61歲開始逐年提取退休保險金。

  第一年取2萬元,那麼還剩(S40 − 2)萬元;

  第二年取2萬元,因為前一年取剩的錢還有利息,所以第二年取剩的錢就為(S40 − 2)(1 +R) − 2

  由此可得數列:bn

  b1 =S40 − 2

  b2 = (S40 − 2)(1 +R) − 2

  b3 = (S40 − 2)(1 +R)2 − 2(1 + R) − 2

  …………

  b_{40}=(S_{40}-2)(1+R)^{39}-2(1+R)^{38}-2(1+R)^{37}-\cdots-2=

  S_{40}(1+R)^{39}-2(1+R)^{38}-2(1+R)^{37}-\cdots-2=S_{40}(1+R)^{39}-2[(1+R)^{38}+(1+R)^{37}+\cdots+1]=s_{40}(1+R)^{39}-\frac{(1+R)^{40}-1}{R}=0

  =a(1+R)\frac{(1+R)^{40}-1}{R}  ①

  又S_{40}(1+R)^{39}=\frac{2[(1+R)^{4}-1]}{R}  ②

  由①②得a(1+R)\frac{(1+R)^{40}-1}{R}(1+R)^{39}=\frac{2[(1+R)^{4}-1]}{R}

  a=\frac{2}{1+R}^{40}

  故每年應向銀行存入元才能保證退休後每年能取2萬元錢而取整整40年。

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