八皇后问题

问题描述

   八皇后问题是在8*8的棋盘上放置8枚皇后，使得棋盘中每个纵向、横向、左上至右下斜向、右上至左下斜向均只有一枚皇后。

求解思路

   对于八皇后的求解可采用回溯算法（回溯法 = 穷举 +　剪枝（去掉不可能的分枝）），从上至下依次在每一行放置皇后，进行搜索，若在某一行的任意一列放置皇后均不能满足要求，则不再向下搜索，而进行回溯，回溯至有其他列可放置皇后的一行，再向下搜索，直到搜索至最后一行，找到可行解，输出。一般有两种方法实现：循环和递归。

#include<iostream>#include<stdlib.h>using namespace std;int a[256]={0},t=1; //最大支持256皇后 /////////////////////////////////Check函数功能：检验第n行的皇后是否和之前的皇后有冲突，没有的话返回1  bool Check(int a[],int n)  {      for(int i=1;i<n;i++)      {          if(abs(a[i]-a[n])==abs(i-n) || a[i]==a[n])//////////////见下面注释              return false;      }      return true;  }  //循环void loopBack(const int n){int i=1;while(i>0)      {          for(a[i]++;a[i]<=n;a[i]++)          {              if(Check(a,i))//////////////////////////////如果第i行的皇后与之前的皇后位置上没有冲突，则break跳出循环                  break;          }        if(a[i]<=n)/////////////////////////////////////如果a[i]<=n，即上面的for循环是由“break;”跳出来的,即第i行皇后的位置符合条件          {              if(i==n)////////////////////////////////////找到一组解，输出              {                  cout<<"第"<<t++<<"种解法："<<endl;                  for(int j=1;j<=n;j++)                      cout<<a[j]<<"   ";                  cout<<endl;            }              else////////////////////////////////////////未找完              {                  i++;                  a[i]=0;              }          }          else              i--;////////////////////////////////////////没有找到合适的则回溯     }}//递归 void Try(int i,const int n){      for(int j=1;j<=n;j++)      {          a[i]=j;        if(Check(a,i))///////////////////////////////////////如果第j列不会与之前的皇后冲突          {              if(i<n)//////////////////////////////////////////如果i<n，即还没有找到八个皇后，继续递归                  Try(i+1,n);            else ////////////////////////////////////////////如果找到了一组解就输出              {                  cout<<"第"<<t++<<"种解法："<<endl;                  for(int k=1;k<=n;k++)                      cout<<a[k]<<"   ";                  cout<<endl;            } }}   }  int main()  {      int n(0);    cout<<"请输入几皇后？n=";    cin>>n;      loopBack(n);//Try(1,n);return 0;}

最后贴一下一种更高效的算法，但没怎么懂，把别人的注释一并复制过来，以后慢慢看吧。

我完整地贴一下：// N Queens Problem// 试探-回溯算法，递归实现// sum用来记录皇后放置成功的不同布局数；upperlim用来标记所有列都已经放置好了皇后。long sum = 0, upperlim = 1;      // 试探算法从最右边的列开始。void test(long row, long ld, long rd) 。{   if (row != upperlim)   {  // row，ld，rd进行“或”运算，求得所有可以放置皇后的列,对应位为0，          // 然后再取反后“与”上全1的数，来求得当前所有可以放置皇后的位置，对应列改为1。          // 也就是求取当前哪些列可以放置皇后。  long pos = upperlim & ~(row | ld | rd);   while (pos) // 0 -- 皇后没有地方可放，回溯。  { // 拷贝pos最右边为1的bit，其余bit置0。 // 也就是取得可以放皇后的最右边的列。 long p = pos & -pos;                                                // 将pos最右边为1的bit清零。                 // 也就是为获取下一次的最右可用列使用做准备，                 // 程序将来会回溯到这个位置继续试探。 pos -= p;                             // row + p，将当前列置1，表示记录这次皇后放置的列。 // (ld + p) << 1，标记当前皇后左边相邻的列不允许下一个皇后放置。 // (ld + p) >> 1，标记当前皇后右边相邻的列不允许下一个皇后放置。                 // 此处的移位操作实际上是记录对角线上的限制，只是因为问题都化归                 // 到一行网格上来解决，所以表示为列的限制就可以了。显然，随着移位                 // 在每次选择列之前进行，原来N×N网格中某个已放置的皇后针对其对角线                 // 上产生的限制都被记录下来了。  test(row + p, (ld + p) << 1, (rd + p) >> 1);                                }   }    else       { // row的所有位都为1，即找到了一个成功的布局，回溯。  sum++;   }}int main(int argc, char *argv[]){   time_t tm;   int n = 16;   if (argc != 1)  n = atoi(argv[1]);   tm = time(0);   // 因为整型数的限制，最大只能32位，   // 如果想处理N大于32的皇后问题，需要   // 用bitset数据结构进行存储。   if ((n < 1) || (n > 32))                     {  printf(" 只能计算1-32之间\n");  exit(-1);   }   printf("%d 皇后\n", n);   // N个皇后只需N位存储，N列中某列有皇后则对应bit置1。   upperlim = (upperlim << n) - 1;             test(0, 0, 0);   printf("共有%ld种排列, 计算时间%d秒 \n", sum, (int) (time(0) - tm));}上述代码容易看懂，但我觉得核心的是在针对试探－回溯算法所用的数据结构的设计上。程序采用了递归，也就是借用了编译系统提供的自动回溯功能。算法的核心：使用bit数组来代替以前由int或者bool数组来存储当前格子被占用或者说可用信息，从这可以看出N个皇后对应需要N位表示。巧妙之处在于：以前我们需要在一个N*N正方形的网格中挪动皇后来进行试探回溯，每走一步都要观察和记录一个格子前后左右对角线上格子的信息；采用bit位进行信息存储的话，就可以只在一行格子也就是（1行×N列）个格子中进行试探回溯即可，对角线上的限制被化归为列上的限制。程序中主要需要下面三个bit数组，每位对应网格的一列，在C中就是取一个整形数的某部分连续位即可。row用来记录当前哪些列上的位置不可用，也就是哪些列被皇后占用，对应为1。ld，rd同样也是记录当前哪些列位置不可用，但是不表示被皇后占用，而是表示会被已有皇后在对角线上吃掉的位置。这三个位数组进行“或”操作后就是表示当前还有哪些位置可以放置新的皇后，对应0的位置可放新的皇后。如下图所示的8皇后问题求解得第一步：row:        [ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][*]ld:         [ ][ ][ ][ ][ ][ ][*][ ]rd:         [ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ]------------------------------------row|ld|rd:  [ ][ ][ ][ ][ ][ ][*][*]所有下一个位置的试探过程都是通过位操作来实现的，这是借用了C语言的好处，详见代码注释。