KMP算法

KMP的介绍神马的就不说了，直奔主题：

 

如图：C和D不匹配了，我们要把j移动到哪？显然是第1位。为什么？因为前面有一个A相同啊：

 

如下图也是一样的情况：

 

可以把j指针移动到第2位，因为前面有两个字母是一样的：

 

至此我们可以大概看出一点端倪，当匹配失败时，j要移动的下一个位置k。存在着这样的性质：最前面的k个字符和j之前的最后k个字符是一样的。

如果用数学公式来表示是这样的

P[0 ~ k-1] == P[j-k ~ j-1]

这个相当重要，如果觉得不好记的话，可以通过下图来理解：

 

弄明白了这个就应该可能明白为什么可以直接将j移动到k位置了。

因为:

当T[i] != P[j]时

有T[i-j ~ i-1] == P[0 ~ j-1]

由P[0 ~ k-1] == P[j-k ~ j-1]

必然：T[i-k ~ i-1] == P[0 ~ k-1]

公式很无聊，能看明白就行了，不需要记住。

这一段只是为了证明我们为什么可以直接将j移动到k而无须再比较前面的k个字符。

 

好，接下来就是重点了，怎么求这个（这些）k呢？因为在P的每一个位置都可能发生不匹配，也就是说我们要计算每一个位置j对应的k，所以用一个数组next来保存，next[j] = k，表示当T[i] != P[j]时，j指针的下一个位置。

 

很多教材或博文在这个地方都是讲得比较含糊或是根本就一笔带过，甚至就是贴一段代码上来，为什么是这样求？怎么可以这样求？根本就没有说清楚。而这里恰恰是整个算法最关键的地方。

void NEXT(vector<int> &next, string needle){int i=0, j=-1;next[0] = -1; while (i < needle.size()-1){if (j == -1 || needle[i] == needle[j]) next[++i] = ++j;else j = next[j];}}

这个版本的求next数组的算法应该是流传最广泛的，代码是很简洁。可是真的很让人摸不到头脑，它这样计算的依据到底是什么？

好，先把这个放一边，我们自己来推导思路，现在要始终记住一点，next[j]的值（也就是k）表示，当P[j] != T[i]时，j指针的下一步移动位置。

先来看第一个：当j为0时，如果这时候不匹配，怎么办？

 

像上图这种情况，j已经在最左边了，不可能再移动了，这时候要应该是i指针后移。所以在代码中才会有next[0] = -1;这个初始化。

如果是当j为1的时候呢？

 

显然，j指针一定是后移到0位置的。因为它前面也就只有这一个位置了~~~

 

下面这个是最重要的，请看如下图：

  

 

请仔细对比这两个图。

我们发现一个规律：

当P[k] == P[j]时，

有next[j+1] == next[j] + 1

其实这个是可以证明的：

因为在P[j]之前已经有P[0 ~ k-1] == p[j-k ~ j-1]。（next[j] == k）

这时候现有P[k] == P[j]，我们是不是可以得到P[0 ~ k-1] + P[k] == p[j-k ~ j-1] + P[j]。

即：P[0 ~ k] == P[j-k ~ j]，即next[j+1] == k + 1 == next[j] + 1。

这里的公式不是很好懂，还是看图会容易理解些。

 

那如果P[k] != P[j]呢？比如下图所示：

 

像这种情况，如果你从代码上看应该是这一句：k = next[k];为什么是这样子？你看下面应该就明白了。

 

现在你应该知道为什么要k = next[k]了吧！像上边的例子，我们已经不可能找到[ A，B，A，B ]这个最长的后缀串了，但我们还是可能找到[ A，B ]、[ B ]这样的前缀串的。所以这个过程像不像在定位[ A，B，A，C ]这个串，当C和主串不一样了（也就是k位置不一样了），那当然是把指针移动到next[k]啦。

 

有了next数组之后就一切好办了，我们可以动手写KMP算法了：

int strStr(string haystack, string needle) {int size1 = haystack.size(), size2 = needle.size();if (size2 == 0) return 0;if (size1 == 0) return -1;vector<int> next(size2,0);NEXT(next, needle);int i=0, j = 0;while (i < size1 && j < size2){if (j == -1 || haystack[i] == needle[j]){++i;++j;}else j = next[j];}if (j == size2) return i - j;else return -1;}

 

最后，来看一下上边的算法存在的缺陷。来看第一个例子：

 

显然，当我们上边的算法得到的next数组应该是[ -1，0，0，1 ]

所以下一步我们应该是把j移动到第1个元素咯：

 

不难发现，这一步是完全没有意义的。因为后面的B已经不匹配了，那前面的B也一定是不匹配的，同样的情况其实还发生在第2个元素A上。

显然，发生问题的原因在于P[j] == P[next[j]]。

所以我们也只需要添加一个判断条件即可：

void NEXT(vector<int> &next, string needle){int i=0, j=-1;next[0] = -1; while (i < needle.size()-1){if (j == -1 || needle[i] == needle[j])if (needle[++i] == needle[++j]) next[i] = next[j]; // 当两个字符相等时要跳过else next[i] = j;else j = next[j];}}