欧拉回路

来源：互联网发布：后期软件油画质感编辑：程序博客网时间：2024/04/20 10:42

一，定理及推论

1，无向图存在欧拉通路的充要条件，为连通图，仅存在两个奇度节点，或无奇度结点

2，无向图存在欧拉回路的条件，为连通图，不存在奇度点

3，有向图存在欧拉通路的条件，连通，所有点的出度等于入度，或仅存在两个顶点出度不等于入度，出、入度之差为1的为起点，出入度之差为-1的为终点

4，有向图存在欧拉回路的条件，连通，所有点的出度等于入度

二、欧拉图的判定

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无向图判断是否存在欧拉回路

1.是连通图 2.无奇数度的点

连通图的判断可以用并查集，判断有误奇数点只要用一个数组记录就可以

有向图判断是否存在欧拉回路

1.是连通图 2，所有点的出度等于入度

与无向图类似，区别在于用两个数组分别记录顶点的出度数和入度数

三、欧拉通路的判定

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题意：
一幅无向图，每条边只能经过一次，需要几次才能经过所有的边
输入n,m,n个点，m条边接着m行数据每行表示起点和终点

思路：一副连通的图，有几对奇数点度，就要相应的次数遍历完
1.需要判断有几幅连通图,单源点应该排除，输入的时候
不输入
2.每一幅图判断几对奇数点，奇数点个数除 2 等于
需要遍历的次数

代码：

#include<iostream>#include<stdio.h>#include<string.h>using namespace std;int od[100005];//记录节点度数int father[100005];//父节点int rk[100005];//优化int vis[100005];//记录父节点int num[100005];//连通图奇数度节点个数int find(int x){   if (x!=father[x])   return find(father[x]);   else   return x;}void hebing(int x,int y){   if (rk[x]>rk[y])   {      father[x]=y;   }   else   {      father[y]=x;      if (rk[x]==rk[y])      rk[x]++;   }}int main(){   int n,m,sum;   int i,j,k,a,b;   while (~scanf ("%d %d",&n,&m))   {      sum=0;      memset(od,0,sizeof(od));      memset(vis1,0,sizeof(vis1));      for (i=0; i<=n; i++)      {         father[i]=i;         rk[i]=0;         vis[i]=0;         num[i]=0;      }      for (i=0; i<m; i++)      {         scanf ("%d%d",&a,&b);         if (a==b)//排除单源点         continue;         od[a]++; od[b]++;         if (find(a)!=find(b))         hebing(find(a),find(b));//生成连通图      }      for (i=1; i<=n; i++)      {         if (od[i]!=0)//改点在图内         {            if (od[i]%2!=0)            {               num[find(i)]++;//记录每个连通图所有奇数度的个数               vis[find(i)]=1;//该连通图已经被找过            }         }      }      for (i=1; i<=n; i++)      {         if (od[i]!=0)         {            if (!vis[find(i)])//是连通图但是不存在奇数度点            {                num[find(i)]++;                vis[find(i)]=2;            }            else            if (vis[find(i)]==1)//存在奇数度的连通图除 2            {               num[find(i)]/=2;               vis[find(i)]=2;            }         }      }      for (i=1; i<=n; i++)      {         sum+=num[i];      }      printf("%d\n",sum);   }}

练习

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