两个高斯函数的卷积仍为一高斯函数

原文：http://blog.csdn.net/liguan843607713/article/details/42215965

两个高斯函数的卷积为一新的高斯函数，新高斯函数的方差为原来两个高斯函数方差的和。

基于此，就百度搜了搜两个高斯函数的卷积，发觉都是只给结论，没有给出理论过程。那就只能自己推导了。

对于以下高斯函数  ：

 

为两个高斯函数的卷积,则如下表示：

具体推导过程如下:

 

的结果为一常数，下面给出计算过程：

运用因式替换计算，首先令 ，则可知 ，代入上式中可得：

为了计算 ，将 用另外一种形式表示：

可用下式将上面的积分转换为极坐标形式：

由此可知 的值：

 

 

由此可得 为：

由此可知两个高斯函数的卷积为一新的高斯函数，新高斯函数的方差为原来两个高斯函数方差的和。