小猪的数据结构辅助教程——2.5 经典例子：约瑟夫问题的解决

标签（空格分隔）： 数据结构

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约瑟夫问题的解析

关于问题的故事背景就不提了，我们直接说这个问题的内容吧：

一堆人，围成一个圈，然后规定一个数N，然后依次报数，当报数到N，这个人自杀，其他人鼓掌！啪啪啪，
接着又从1开始报数，报到N又自杀…以此类推，直到死剩最后一个人，那么游戏结束！

这就是问题，而我们用计算机模拟的话，用户输入:N(参与人数)，M(第几个人死)，结果返回最后一个人！
类似的问题有跳海问题，猴子选王等，下面我们就以N = 41和M = 3作为输入参数，使用不同的方法来
解决约瑟夫问题！

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1.使用C语言的数组来解决

流程解析：

这里我们用数组来模拟报数的流程，使用一个标记数组，1代表人没死，0代表已经死了！

• Step 1：获取人数，第几个人死，初始化标记数组，将数组置为1
• Step 2：使用一个变量last来统计剩下没死的人数 > 1作为循环条件
  1）判断标记数组中的元素是不是1，1代表没死，没死继续循环，这里很巧妙地用了这段代码：
  if(!tag[i%n])continue; 如果执行这个说明tag[i%n] == 0说明这B前面已经死了，而不直接
  用i，而是用i % n是因为，可能出现n少于m的情况！
  2）判断是否移动了m个人，是的话把这个人杀掉，就是数组对应下标设置为0，同时打印输出，
  统计人数的变量 -1；否则：判断是否移动m个人的变量++;
• Step 3：使用循环链表遍历数组，找到不为0的元素，打印输出下标即可

代码实现：

#include <stdio.h>int main(){    //参数: n(人数),m(第m个人死),last(剩余的人数)    int i,j,n,m,last;    int tag[100];    printf("输入参加的人数:\n");      scanf("%d",&n);      printf("输入每隔多少死一个人:\n");      scanf("%d",&m);    printf("\n准备报数！\n\n");         //初始化数组    for(i = 0;i < n;i++)    {        tag[i] = 1;     }      //开始报数    j = 1;    last = n;    for(i = 0;last > 1;i++)    {        if(!tag[i%n])continue;        if(j == m)        {            j = 1;            tag[i%n] = 0;            printf("第%d个人自杀了，大家快鼓掌！啪啪啪！\n",(i%n)+1);            last--;        }        else j++;       }     for(i = 0;i < n;i++)if(tag[i])break;    printf("第%d个人活下来了！\n",i+1);    return 0;}

运行截图：

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2.使用循环链表来解决

上面使用数组来模拟报数，好像不太容易理解，要不我们用上一节学到的循环链表来嗨一下，
循环链表是一个环，我们只要把报到的结点删除掉，然后重新报数…最后剩下的结点就是没死
的那个了！下面我们写代码来实现下！
PS：代码还是蛮简单的，有不理解，可以自己画下图~

代码实现：

#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <malloc.h>//定义循环链表的存储结构typedef struct LNode{    int data;         //数据域    struct LNode *next;   //指针域 }LNode;  typedef struct LNode *LinkList;//定义循环链表的初始化方法LinkList createList(int n){    printf("\n初始化循环链表\n\n");     LinkList head,s,p;    int i = 1;    head = (LinkList)malloc(sizeof(LNode));    p = head;    if(n != 0)    {        while(i <= n)        {            s = (LinkList)malloc(sizeof(LNode));            s ->data = i++;  //为链表初始化，第一个结点值为1，第二个为2这样以此类推            p ->next = s;            p = s;        }         s->next = head->next;      }    free(head);      return s->next;  }int main(){    int n,m,i;    printf("输入参加的人数:\n");      scanf("%d",&n);      printf("输入每隔多少死一个人:\n");      scanf("%d",&m);    LinkList p = createList(n);    LinkList temp;    m %= n;  //为了防止报数的人大于参与的人，求余可以理解为重头开始    while(p != p ->next)    {        for(i = 1;i < m -1;i++)        {            p = p ->next;         }        printf("第%d个人自杀了\t",p ->next->data);        //删除第m个结点        temp = p ->next;        p ->next = temp ->next;        free(temp);        p = p ->next;     }     printf("\n第%d个人活下来了！\n\n", p->data );        return 0;  }

运行截图：

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3.数学方法来解决

上面讲述的两种解决约瑟夫问题的方法都是模拟一个报数的流程，对付一些小的数据量
还可以，但是假如我们输入的数据量很大的时候，就会显得很笨重，我们需要使用一些
数学策略来解决这个问题，有这样一个递推公式：
**f[ 1 ]=0;
f[ i ]=(f[ i-1 ]+m)%i; (i>1)**
而我们根据上面这个递推公式，写出如下代码：

实现代码：

#include <stdio.h>  int main()  {    int n, m, i, s=0;    printf ("N M = ");   scanf("%d%d", &n, &m);    for (i=2; i<=n; i++)s=(s+m)%i;    printf ("最后一个剩下的人: %d\n", s+1);    return 0;  }  

运行截图：

卧槽，这是何等的卧槽，就for(i=2; i<=n; i++)s=(s+m)%i; 这样一个东西就得出结果了？
我选择死亡….
好吧，又一次体会到数学的流弊之处，果然玩算法的数学必须得好，笔者的数学太屎，推导不出
k’ = (k + m)%i这条公式…这里贴下网上别人的解释吧：

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4.约瑟夫问题的增强版

题目：
假如现在是不固定报数，而是每人次优一个密码，从第一个持有密码的人开始，把他作为
报数的M值，从第一个数开始报数，当报数到M时候，报数的人出列，拿出他的密码，把密码
作为报数的M值，接着依次下去..直到全部人出列，游戏结束！

代码实现：

#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#define MAX_SIZE 100  #define TRUE 1#define FALSE 0#define OK 1#define ERROR 0//定义循环链表的存储结构typedef int Status; typedef struct LNode{    int id;         //第几个人    int pawd;       //密码     struct LNode *next;   //指针域 }LNode;  typedef struct LNode *LinkList;//1.定义一个创建结点的方法LNode *GetNode(int pid,int ppawd){    LinkList p;    p = (LinkList)malloc(sizeof(LNode));    if(!p)return ERROR;    p ->id = pid;    p ->pawd = ppawd;    p ->next = NULL;    return p;} //2.创建循环单链表Status ListCreate(LinkList L,int n){    int i,ppawd;    LinkList p,q;    for(i = 1;i <= n;i++)    {        printf("请输入第%d个人持有的密码：",i);        scanf("%d",&ppawd);        p = GetNode(i,ppawd);        if(L == NULL)        {            L = q = p;            q ->next = L;        }else{            p ->next = q ->next;            q ->next = q;            q = p;        }    }       printf("完成单向循环链表的创建!\n");    return OK;}  //3.判断循环单链表是否为空Status ListEmpty(LinkList L){    if(!L)return TRUE;    return FALSE;} //4.打印循环链表当前的所有元素void ListPrint(LinkList L){    LinkList p = L;    if(ListEmpty(L))return;    do{        printf("第%d个人的密码为：%d\n",p ->id,p ->pawd);        p = p ->next;    }while(p != L);    getchar();} //5.开始游戏void StartGame(LinkList L,int startpawd){    int i,isFlag = 1;    LinkList p,q,r;    p = q = L;    //让p指向尾部结点，为删除做准备    while(p ->next != L)p = p ->next;    while(isFlag)    {        for(i = 1;i < startpawd;i++)        {            p = q;            q = q ->next;        }        if(p == q)isFlag = 0;        r = q;  //删除q指向的结点，有人出列        p ->next = q ->next;        q = q->next;        startpawd = q ->pawd;        printf("第%d个人出列，他手持的密码是：%d\n",r ->id,r ->pawd);        free(r);     }     L = NULL;    getchar();} int main(){    int n, m;    LinkList L = NULL;    while(1)    {      printf("请输入人数n（最多%d个）: ", MAX_SIZE);          scanf("%d", &n);                 printf("和初始密码m: ");          scanf("%d", &m);          if (n > MAX_SIZE)          {              printf("人数太多，请重新输入！\n");              continue;          }          else              break;          }    ListCreate(L,n);    printf("\n------------ 循环链表原始打印 -------------\n");      ListPrint(L);      printf("\n-------------删除出队情况打印 -------------\n");      StartGame(L, m);      return 0;}

运行截图：

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5.本节代码下载

https://github.com/coder-pig/Data-structure-auxiliary-tutorial/blob/master/List/yueshefu1.c
https://github.com/coder-pig/Data-structure-auxiliary-tutorial/blob/master/List/yueshefu2.c
https://github.com/coder-pig/Data-structure-auxiliary-tutorial/blob/master/List/yueshefu3.c
https://github.com/coder-pig/Data-structure-auxiliary-tutorial/blob/master/List/yueshefu4.c