三个特殊的同余式

介绍三个特殊而重要的同余式：

欧拉定理（Euler theorem）

费马小定理（Fermat's little theorem）

威尔逊定理（Wilson theorem）

1.欧拉定理：如果a、p是正整数，且互质，那么有
证明：设和P互质且小于P的正整数集合是
进一步：
所以      在集合S内。
那么，
有：

2.而当P是素数的时候，欧拉定理就是费马小定理：
费马小定理除了能用于求解逆元之外，还有一个强大的功能：在满足条件下，降幂。
设正整数
那么：

一个例子：
POJ 1845 Sumdiv
http://poj.org/problem?id=1845

大意：求解A^B的因子和，输出模9901的结果。

分析：设N分解成：,则 那么问题的结果就是：
于是这涉及到逆元，还可用费马小定理降幂。不过还有陷阱。。（此题原来也做过，曾经就因为不知道WA在哪里，改成了二分递归思路：http://blog.csdn.net/thearcticocean/article/details/48029837）

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>using namespace std;typedef long long LL;const LL N=5e5+10,mod=9901;LL fac[N],cnt;bool vis[N];void getfac(){    for(LL i=2;i<N;i++){        if(!vis[i])  fac[cnt++]=i;        for(LL j=0;j<cnt&&fac[j]*i<N;j++){            vis[i*fac[j]]=1;            if(i%fac[j]==0)  break;        }   }}LL sta[N],pow[N],top;void solve(LL x){    memset(pow,0,sizeof(pow));    top=0;    for(LL i=0;i<cnt&&fac[i]<=x;i++){  //i<cnt        if(x%fac[i]==0){            sta[top]=fac[i];            while(x%fac[i]==0){                x/=fac[i];                pow[top]++;            }            top++;        }    }    if(x>1){        sta[top]=x;        pow[top]++;        top++;    }}void ex_gcd(LL a,LL b,LL &d,LL &x,LL &y){    if(b==0){        d=a; x=1; y=0;        return ;    }    ex_gcd(b,a%b,d,x,y);    LL t=x;    x=y;    y=t-a/b*y;}LL power(LL a,LL p){    a=a%mod;    LL ans=1;    p=p%(mod-1); // 费马小定理    while(p){        if(p&1)  ans=ans*a%mod;        a=a*a%mod;        p>>=1;    }    return ans;}int main(){    //freopen("cin.txt","r",stdin);    getfac();    LL A,B;    while(cin>>A>>B){        if(A==0){            puts("0"); // 在这里 0^0=0            continue;        }        if(B==0){            puts("1");            continue;        }        solve(A);        LL ans=1;        for(LL i=0;i<top;i++){            LL temp=1;            if(sta[i]%mod==0) continue;            if(sta[i]%mod==1){ // "互质" != "(mod m)=1"                temp=(pow[i]*B+1)%mod;                ans=ans*temp%mod;                continue;            }            LL d=1,ni=1,y=1;            ex_gcd(sta[i]-1,mod,d,ni,y);            ni=(ni%mod+mod)%mod;            temp=power(sta[i],(pow[i]*B+1));            temp=(temp-1+mod)%mod;            ans=ans*temp%mod*ni%mod;        }        printf("%lld\n",ans);    }    return 0;}/*ex_gcd(i,9901,d,x,y);  // i=0 -> x=0  i=-1 -> x=1*/

费马小定理告诉我们，当n是一个素数时有：
符合这一特征，但是却是合数的是 伪素数(pseudoprime)。

3.wilson 定理

如果p是素数，那么
证明：如果p是一个素数，那么对于等式 ，其中0<a<p，只有a=1 或者a=p-1时逆元和本身相等，其他数字的逆元是在1——p-1内的不同数字。
由此，
那么，


由此产生的推论：
如果正整数n>=2，且 ，那么n是一个素数。