向量叉积的几何意义

其实这篇文章主要讨论为何向量叉积这样定义，标题是为了吸引人，让更多有同样疑惑的人搜到。
记得上大学时的第一节课是《空间解析几何》，和大多数的教材一样，开篇就是向量点积和叉积的定义。点积的定义很好理解 ，a·b（为了讨论方便，之后都假设b为单位向量）可以看成向量a在向量b方向上的投影长度。

（图1）

叉积的定义就比较奇怪了，按理说a·b是a在平行于b方向上的分量上的长度，相应的a×b应该是a在垂直b方向上的分量的长度，也就是上图中虚线部分。然而a×b被定义成了一个向量，方向垂直于oab平面（在这里，如果用右手法则的话，垂直纸面向里）。将叉积定义为向量还好理解，这个奇怪的方向是什么鬼？

闲话少说，先上结论：为了满足乘法交换律。
乘法的三大运算定律：
1.乘法分配律
两个数的和同一个数相乘,等于把两个加数分别同这个数相乘,再把两个积加起来,和不变。
(a+b)×c =a×c+b×c
2.乘法结合律
三个数相乘，先把前两个数相乘，再和另外一个数相乘，或先把后两个数相乘,再和另外一个数相乘，积不变。
a×b×c=a×(b×c)
3.乘法交换律
乘法交换律是两个数相乘,交换因数的位置,它们的积不变。
a×b=b×a
点积和叉积作为我们定义的乘法，要尽量满足这三个运算定律。所谓尽量满足，就是说不做强制要求，三个满足不了就先满足两个，两个满足不了就先满足一个，一个都满足不了还是不要叫他乘法了，换个名字吧。当然满足得越多越好，实在满足不了，近似满足也可以接受。

下面分别来检验点积和叉积是否满足乘法运算定律。由于结合律作用不大，应用的也比较少，这里暂时不做检验，只检验分配律和交换律。

点积a·b

（图2）

向量a分解成了两个向量a1和a2,a=a1+a2
a·b=OX2的长度(假设b为单位向量)
a1·b=OX1的长度
a2·b=X1X2的长度
明显 OX2的长度 = OX1的长度+X1X2的长度
亦即 a·b=a1·b+a2·b 分配律成立
再来看看交换律
按点积的定义a·b = a的长度×b的长度×cos(a和b的夹角)
b·a = b的长度×a的长度×cos(b和a的夹角)
都是数值的运算 所以a·b=b·a 交换律成立
然而点积也有一点不合理之处，两个向量的点积结果是一个标量，方向丢掉了。假如我们把点积的结果定义为一个向量是不是可以呢？反正定义都是人为的，我们重新定义点积也未尝不可。好，我们就把a·b 定义为一个向量，大小和之前一样，是a的长度×b的长度×cos(a和b的夹角)，方向是b的方向，也就是a在b方向上的水平分量，对应上图中的向量OX2。
按照新定义的点积
a·b=向量OX2
a1·b =向量OX1
a2·b =向量X1X2
向量OX2=向量OX1+向量X1X2,
所以按新定义的点积，分配律是成立的
我们再来看看交换律

（图3）

按我们定义的点积a·b的朝向是b方向，b·a的朝向是a方向，两个点积的方向不同，交换律不成立。这就是将点积定义为标量而不是向量的原因，也可以说点积为了满足交换律放弃了结果的方向。

叉积a×b

同样的我们来重新定义叉积，将叉积a×b定义为a在b的垂直方向上的分量，接着和点积一样去掉方向将结果定义为标量，看下图

（图4）

a×b = y0y2的长度，
a1×b = y0y1的长度，
a2×b = y1y2的长度，
和点积的情况是一样的，满足分配律也满足交换律，完美。
但是我们这里都是在二维的情况下来考量的，我们来看看三维空间下是什么情况：

（图5）

向量a分解为两个向量OA1和A1A2(A1和A2分别是向量a1，a2的顶点，图上未画出来)，p1和p2是垂直于b的平面，虚线部分的长度就是我们定义的叉积a1×b

（图6）

上图虚线部分的长度就是我们定义的叉积a2×b
我们将p1，p2平面合到一起

（图7）

从前两图的视线方向看，就是下面的效果：

（图8）

这里为了画图方便，选择了两个比较极端的分量a1，a2。
从上面的最后一张图上看，虚线部分的长度之和明显大于实线部分的长度(也就是a×b ),新定义的叉积不满足分配律。
仔细看上图，三条线段组成了一个闭合的三角形，将每一个线段看成一个向量：

（图9）

则a×b = a1×b + a2×b，也就是说我们修改下定义，把叉积定义为一个向量就能满足分配律了。

再来看交换律，回头看图(3),按我们现在的定义a×b 和b×a 分别垂直b和a，方向不一致，不满足交换律。
这时候如果我们修改定义将a×b绕着b轴按左手法则旋转90度，这时a×b垂直a,b所在平面，如下图左半部分

(图10)
当然按右手法则旋转也是可以的，这里主要是为了和书本上的定义一致。
同时我们对b×a进行同样的操作，看图(10)右半部分。我们看到a×b和b×a都垂直于平面，在一条直线上，但是方向相反(大小相等我们就不做过多解释了)，即：
a×b = -b×a
近似满足了乘法交换律，只要我们能够接受这个多出来的负号。

那么问题来了，跟挖掘机技术无关，修改过定义以后的叉积还满足分配律吗？
答案是肯定的。看图(9)，a×b，a1×b，a2×b三个向量是未做旋转前的叉积向量，这时的b轴垂直纸面朝里，这三个向量在一个平面上，且这个平面垂直于b轴。
我们对图(9)稍作修改

图(11)
将a2×b移至和b轴相交处，将整个平行四边形逆时针旋转90度，a×b，a1×b，a2×b都旋转了90度，平行四边形的形状没有发生改变，
a×b = a1×b + a2×b
仍然成立。

另外，之前点积也是在二维的情况下讨论的，在三维空间下还满足乘法分配律和交换律吗？
这个问题就留给聪明的你了。