集合划分问题（贝尔数）

集合划分问题

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Description

n个元素的集合{1,2,...,n}可以划分若干个非空子集。例如，当n=4时，集合{1,2,3,4}可以划分为15个不同的非空子集如下:

 {{1},{2},{3},{4}},{{1,2},{3},{4}},{{1,3},{2},{4}},{{1,4},{2},{3}},{{2,3},{1},{4}},{{2,4},{1},{3}},{{3,4},{1},{2}},{{1,2},{3,4}},{{1,3},{2,4}},{{1,4},{2,3}},{{1,2,3},{4}},{{1,2,4},{3}},{{1,3,4},{2}},{{2,3,4},{1}},{{1,2,3,4}}

给定正整数n(1<=n<=20),计算出n个元素的集合{1,2,...,n} 可以化为多少个不同的非空子集。

Input

多组输入数据，每组数据1行，表示元素个数n.

Output

对于每组数据，输出一行一个数，表示不同的非空子集的个数。

Sample Input

24

Sample Output

215

解题思路（From Internet）：

设n个元素的集合可以划分为F(n,m)个不同的由m个非空子集组成的集合。考虑3个元素的集合，可划分为① 1个子集的集合：{{1，2，3}}② 2个子集的集合：{{1，2}，{3}}，{{1，3}，{2}}，{{2，3}，{1}}③ 3个子集的集合：{{1}，{2}，{3}}∴F(3,1)=1;F(3,2)=3;F(3,3)=1;如果要求F(4,2)该怎么办呢？A.往①里添一个元素{4}，得到{{1，2，3}，{4}}B.往②里的任意一个子集添一个4，得到{{1，2，4}，{3}}，{{1，2}，{3，4}}，{{1，3，4}，{2}}，{{1，3}，{2，4}}，{{2，3，4}，{1}}，{{2，3}，{1，4}}∴F(4,2)=F(3,1)+2*F(3,2)＝1+2*3＝7推广，得F(n,m)=F(n-1,m-1)+m*F(n-1,m)

后来发现这就是组合数学里面的贝尔数。

Bell数的定义：第n个Bell数表示集合{1,2,3,...,n}的划分方案数，即：B[0] = 1;

 

 

每一个Bell数都是第二类Stirling数的和，即：

 

 

第二类Stirling数的意义是：S(n,k)表示将n个物体划分成k个非空的不可辨别的（可以理解为盒子没有编号）集合的方法

数。很明显，每一个Bell是对应的第二类Stirling数之和。

 

Bell数的指数生成函数是：

 

注意本题要用long long型。

/** Copyright (c) 2016, 烟台大学计算机与控制工程学院* All rights reserved.* 文件名称：number.cpp* 作    者：单昕昕* 完成日期：2016年4月29日* 版 本 号：v1.0*/#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>#include<cmath>#include<algorithm>using namespace std;long long S(long long m,long long n){    if(m==1)        return 1;    if(m==n)        return 1;    else        return S(m-1,n-1)+S(m,n-1)*m;}int main(){    long long n,i;    while(cin>>n)    {        long long sum=0;        for(i=1; i<=n; i++)            sum+=S(i,n);        cout<<sum<<endl;    }    return 0;}