同余取模。。

同模取余

基本性质

a≡b(modn);
a+k∗b=n;
n|a−b;

a≡b(modn);d|n;
a≡b(modd);

a≡b(modn);d|(a,b,n)
ad≡bd(modnd);

a≡b(modn);
(c,n)=1;
a∗c≡b∗c(modn);

a1≡b1(modn);a2≡b2(modn);
a1+a2≡b1+b2(modn);
a1∗a2≡b1∗b2(modn);

a≡b(modp); a≡b(modq);(p,q为不同素数)
a≡b(modp∗q);

费马小定理

ap−1≡1(modp);(p为素数,(a,p)=1);

证明

P={1,2,3,…,p−1};
(a,p)=1;
A={a,2∗a,3∗a,…,(p−1)∗a};
(p−1)≡a∗2a∗3a∗(p−1)a(modp);
(p−1)≡ap−1∗(p−1)(modp);
∵((p−1),p)=1;
∴ap−1≡1(modp);

除法逆元

ab≡a∗bp−2(modp);(p为素数,(b,p)=1);
B∗b≡1(modp);
∵ap−1≡1(modp),(p为素数,(a,p)=1);
∴B=bp−2;

威尔逊定理

(p−1)≡−1(modp),(p为素数);

证明

若p=2; 显然成立;

若p>2;
对于所有的整数1≤a≤(p−1),存在1≤a1≤(p−1),使
得:
a∗a1≡1(modp);
当a=a1;
即a2≡1(modp);
a=1 或 a=p−1;
即:

1∗2∗…∗(p−2)∗(p−1)≡1∗(p−1)∏aa∗a1≡1∗(p−1)≡−1(modp);

欧拉函数

m是一个正整数,1,2,…m−1,m中与m互素的个数,记做φ(m); 1与任何数互素;

φ(p)=p−1;(p为素数);
若m=pα,φ(m)=pα−pα−1;
φ(m)=m∏p|m(1−1p);

性质

φ(p∗q)=φ(p)∗φ(q);((p,q)=1)
φ(2∗q)=φ(q);(q为素数);
小于n与n互素的正整数的和:  
sum=n∗φ(n)2;

直接求欧拉值\打标

int get_Euler(int n)   //直接求值 euler(n) = n * (1 - 1/p1) * (1 - 1/p2)*...*;{    int tmp = n, ans = n;    for (int i = 2; i * i <= tmp; i++)    {        if (tmp % i == 0)        {            ans = ans / i * (i - 1);            while (tmp % i == 0)            {                tmp /= i;            }        }    }    if (tmp > 1)    {        ans = ans / tmp * (tmp - 1);    }    return ans;}

int euler[N];void init_Euler()    //打表{    euler[1] = 1;    for (int i = 2; i < N; i++)    {        euler[i] = i;    }    for (int i = 2; i < N; i++)    {        if (euler[i] == i)        {            for (int j = i; j < N; j += i)            {                euler[j] = euler[j] / i * (i - 1);            }        }    }}