【GDOI2016】中学生数学题 题解

Description

题目大意就是给你整数n0,实数p0,k
求一个p，使⌊n0−kp⌋(p−p0) 最大
再求p1,p2，使⌊n0−kp1⌋(p1−p0)+⌊n0−kp2−⌊n0−kp1⌋⌋(p2−p0) 最大

Solution

显然kp为整数更优。

那么我们只考虑kp为整数的情况，易发现答案与p成一个二次函数（然而我居然把式子忘了）

那么第一问我们搞一个三分即可

对于第二问，三分p1时，发现剩下的p2也成一个二次函数，再套一个三分就可以了。
不知道三分的戳这里
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然而，我们有一种更简单的方法。
设n=⌊n0−kp⌋
我们画出以p为X轴，以n为Y轴的一次函数图像

我们要求的就是这个蓝色矩形的最大面积

这里我们应该取中点（证明自己YY），然后再±1取最大即可

对于第二问

我们要求这个蓝色图形的面积

于是我们应该取三等分点（证明继续自己YY），然后再±1取最大即可

当时左评委讲解的时候我们都惊呆了~~

复杂度是常数级的，精度自己看着办

Code

#include<cstdio>#include<cstdlib>#include<algorithm>#include<iostream>#include<cstring>#include<cmath>#define fo(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)#define fod(i,a,b) for(i=a;i>=b;i--)using namespace std;double p0,k,p1;int n1,n2,n0,n3;int main(){    cin>>n0>>p0>>k;    n1=n0-trunc(n0-k*p0)/2;    int i,j;    double ans=0;    fo(i,n1-1,n1+1)    {        ans=max(ans,(i/k-p0)*(n0-i));    }    printf("%.3lf ",ans);    n2=trunc(n0-k*p0)/3;    ans=0;    fo(i,n2-1,n2+1)    {        n3=n2;        fo(j,n3-1,n3+1)        {            ans=max(ans,((n0-i)/k-p0)*i+((n0-i-j)/k-p0)*j);        }    }    printf("%.3lf ",ans);}