斐波拉契数列的递归、非递归、公式法多种方法实现

实现斐波拉契数列：1,1,2,3,5,8...，当n>=3时，f(n)=f(n-1)+f(n-2)。

解：求解斐波拉契数列方法很多，这里提供了4种实现方法和代码，由于第5种数学公式方法代码太过繁琐，只做简单介绍

方法一：递归调用,每次递归的时候有大量重复计算，效率低，可将其调用的过程转化成一颗二叉树进行分析，二叉树的总结点个数不超过(2^n-1)个，由于其是不完全二叉树，那么函数计算的次数必小于(2^n-1)，时间复杂度为O(2^n)；递归调用的深度为n,空间复杂度为O(n)

方法二：非递归数组方式,循环中仍然有重复计算，时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(1)

方法三：非递归循环方式，将前两项的计算结果保存起来，无重复计算，时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(1)

方法四：直接利用数学公式法：f(n)={[(1+5^0.5)/2]^n - [(1-5^0.5)/2]^n}/(5^0.5)，时间复杂度为O(1)，空间复杂度为O(1)

实现代码如下：

#include<iostream>

#include<cmath>

using namespace std;

//方法一：递归调用,有大量重复计算，效率低

long long Fibonacci1(int n)

{

return (n < 2) ? n : Fibonacci1(n - 1) + Fibonacci1(n - 2);

}

//方法二：非递归数组方式,循环中仍然有重复计算

long long Fibonacci2(int n)

{

long long *fibArray = new long long[n + 1];

fibArray[0] = 0;

fibArray[1] = 1;

for (int i = 2; i <= n; i++)

{

fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray[i - 2];

}

long long ret = fibArray[n];

delete[] fibArray;

return ret;

}

//方法三：非递归循环方式，将前两项的计算结果保存起来，无重复计算

long long Fibonacci3(int n)

{

long long fibArray[3] = { 0, 1, n };//给fibArray数组赋初值

for (int i = 2; i <= n; i++)

{

fibArray[2] = fibArray[1] + fibArray[0];

fibArray[0] = fibArray[1];

fibArray[1] = fibArray[2];

}

return fibArray[2];

}

//方法四：直接利用数学公式法：f(n)={[(1+5^0.5)/2]^n - [(1-5^0.5)/2]^n}/(5^0.5)

long long Fibonacci4(int n)

{

return (pow((1 + sqrt(5.0)) / 2, n) - pow((1 - sqrt(5.0)) / 2, n)) / sqrt(5.0);

}

//测试代码

int main()

{

int num = 0;

int ret = 0;

cout << "请输入斐波拉契数列的序号:";

cin >> num;

ret = Fibonacci1(num);

/*ret = Fibonacci2(num);*/

/*ret = Fibonacci3(num);*/

/*ret = Fibonacci4(num);*/

cout << ret << endl;

system("pause");

return 0;

}

方法5：生僻的数学公式法

 f(n)      f(n-1)        1    1

[                 ] = [          ]^(n-1)

 f(n-1)    f(n-2)        1    0

该公式可用数学归纳法进行证明，在矩阵乘法的变换证明过程中，要注意运用斐波拉契数列的性质：后一项为前面两项之和；该数学公式，应用矩阵的乘法，时间复杂度仅为O(log n),时间效率虽然低，但不够实用，源码太过繁琐，参考剑指0ffer面试题9的源码

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