【CG物理模拟系列】流体模拟--粒子法之SPH法的加权函数计算

来源:互联网 发布:软件中心 编辑:程序博客网 时间:2024/03/29 10:19

SPH法中的加权函数


Poly6 kernel[1]


用于密度计算等。由于r只存在于2次项中,可以省去平方根的计算。
eq_poly6.gif

梯度为,
eq_poly6_gradient.gif

拉普拉斯算子为,
eq_poly6_laplacian.gif

如图所示,

kernel_poly6.png

右侧坐标为拉普拉斯值

Code Sample

 /*!
 * Poly6 kernel函数值的计算
 * @param[in] r 距离
 * @param[in] h 有效半径
 * @return 函数值
 */
inline double RxKernelPoly6(const double &r, const double &h)
{
    if(r >= 0.0 && r < h){
        double q = h*h-r*r;
        return 315.0/(64.0*RX_PI*pow(h, 9))*q*q*q;
    }
    else{
        return 0.0;
    }
}
 
/*!
 * Poly6 kernel梯度值的计算
 * @param[in] r 距离
 * @param[in] rij 相对位置
 * @param[in] h 有效半径
 * @return 梯度值
 */
inline Vec3 RxKernelPoly6G(const double &r, const Vec3 &rij, const double &h)
{
    if(r >= 0.0 && r < h){
        double q = h*h-r*r;
        return -945.0/(32.0*RX_PI*pow(h, 9))*q*q*rij;
    }
    else{
        return Vec3(0.0);
    }
}
 
/*!
 * Poly6 kernel函数拉普拉斯算子的计算
 * @param[in] r 距离
 * @param[in] h 有效半径
 * @return 拉普拉斯值
 */inline double RxKernelPoly6L(const double &r, const double &h)
{
    if(r >= 0.0 && r < h){
        double q = h*h-r*r;
        return -945.0/(32.0*RX_PI*pow(h, 9))*(3*q*q-4*r*r*q);
    }
    else{
        return 0.0;
    }
}

h为定值的时候,上式的α部分作为全局变量计算即可。

Spiky kernel[1,2] 


用于计算圧力项。当Poly6 kernel的r=0时,其梯度也为0,把粒子当作是由cluster构成的问题求解即可。
eq_spiky.gif

梯度为,

eq_spiky_gradient.gif

拉普拉斯值为,
eq_spiky_laplacian.gif

[2]的定义为,
eq_spiky_desbrun.gif

如图所示,
kernel_spiky.png

右侧轴为拉普拉斯值

Code Sample

  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51
 
/*! * Spiky kernel函数值的计算 * @param[in] r 距离 * @param[in] h 有效半径 * @return 函数值 */inline double RxKernelSpiky(const double &r, const double &h){    if(r >= 0.0 && r < h){        double q = h-r;        return 15/(RX_PI*pow(h, 6))*q*q*q;    }    else{        return 0.0;    }} /*! * Spiky kernel函数梯度值的计算 * @param[in] r 距离 * @param[in] rij 相对位置 * @param[in] h 有效半径 * @return 梯度值 */inline Vec3 RxKernelSpikyG(const double &r, const Vec3 &rij, const double &h){    if(r >= 0.0 && r < h){        double q = h-r;        return -45.0/(RX_PI*pow(h, 6))*q*q*rij/r;    }    else{        return Vec3(0.0);    }} /*! * Spiky kernel函数拉普拉斯值的计算 * @param[in] r 距离 * @param[in] h 有效半径 * @return 拉普拉斯值 */inline double RxKernelSpikyL(const double &r, const double &h){    if(r >= 0.0 && r < h){        double q = h-r;        return -90.0/(RX_PI*pow(h, 6))*(q*q/r-q);    }    else{        return 0.0;    }}

h为定值的时候,上式的α部分当作全局变量计算即可。

Viscosity kernel[1] 


用于计算粘性扩散项。Laplacian为线性函数。
eq_visc.gif

梯度为,

eq_visc_gradient.gif

拉普拉斯算子为,

eq_visc_laplacian.gif

如图所示,

kernel_viscosity.png

右侧轴为拉普拉斯值。

Code Sample

  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51
 
/*! * Viscosity kernel函数值的计算 * @param[in] r 距离 * @param[in] h 有效半径 * @return 函数值 */inline double RxKernelViscosity(const double &r, const double &h){    if(r >= 0.0 && r < h){        double q = r/h;        return 15.0/(2.0*RX_PI*pow(h, 3))*(-0.5*q*q*q+q*q+0.5/q-1);    }    else{        return 0.0;    }} /*! * Viscosity kernel函数梯度的计算 * @param[in] r 距离 * @param[in] rij 相对位置 * @param[in] h 有效半径 * @return 梯度值 */inline Vec3 RxKernelViscosityG(const double &r, const Vec3 &rij, const double &h){    if(r >= 0.0 && r < h){        double q = r/h;        return 15.0/(2.0*RX_PI*pow(h, 5))*(-1.5*q+2-0.5/(q*q*q))*rij;    }    else{        return Vec3(0.0);    }} /*! * Viscosity kernel函数拉普拉斯算子的计算 * @param[in] r 距离 * @param[in] h 有效半径 * @return Laplacian值 */inline double RxKernelViscosityL(const double &r, const double &h){    if(r >= 0.0 && r < h){        double q = h-r;        return 45.0/(RX_PI*pow(h, 6))*q;    }    else{        return 0.0;    }}

h为定值的时候,上式的α部分作为全局变量计算即可。

Spline kernel[3,4] 

sph_kernel_spline.eq1.gif

这里,

sph_kernel_spline.eq2.gif

剃度为,
sph_kernel_spline.eq3.gif

这里,

sph_kernel_spline.eq4.gif

拉普拉斯算子为,
sph_kernel_spline.eq5.gif

这里,

sph_kernel_spline.eq6.gif

如图所示,

kernel_spline.png

右侧轴为拉普拉斯值。

Super Gaussian kernel[3] 

eq_gaussian2.gif

剃度为,

eq_gaussian2_gradient.gif

拉普拉斯算子为i,

eq_gaussian2_laplacian.gif

如图所示,

kernel_gaussian2.png

右侧轴为拉普拉斯算子的值

コード例

  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37
 
/*! * Gaussian kernel函数值的计算 * @param[in] r 距离 * @param[in] h 有效半径 * @return 函数值 */inline double RxKernelSuperGaussian(const double &r, const double &h){    double q = r/h;    return 1.0/(pow(RX_PI, 1.5)*pow(h, 3))*(2.5-r*r)*exp(-q*q);    //return 1.0/(sqrt(RX_PI)*h)*exp(-q*q);} /*! * Gaussian kernel函数梯度值的计算 * @param[in] r 距离 * @param[in] rij 相对距离 * @param[in] h 有效半径 * @return 梯度值 */inline Vec3 RxKernelSuperGaussianG(const double &r, const Vec3 &rij, const double &h){    double q = r/h;    return -2.0/(pow(RX_PI, 1.5)*pow(h, 3))*(1.0+2.5/(h*h)-q*q)*exp(-q*q)*rij;} /*! * Gaussian kernel函数拉普拉斯算子的计算 * @param[in] r 距离 * @param[in] h 有效半径 * @return 拉普拉斯算子的值 */inline double RxKernelSuperGaussianL(const double &r, const double &h){    double q = r/h;    return 2.0/(pow(RX_PI, 1.5)*pow(h, 3))*(2.0*q*q-(1.0+2.5/(h*h)-q*q)*(1.0-2.0*q*q))*exp(-q*q);}

h为定值的时候,上式的α部分作为全局变量计算即可。
Fourth-order weighting function 
eq_fourth.gif

梯度函数为,

eq_fourth_gradient.gif

拉普拉斯算子为,

eq_fourth_laplacian.gif

如图所示,

kernel_fourth.png

右侧轴为拉普拉斯值。

コード例

  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87
 
/*! * Fourth-order 加权函数值的计算 * @param[in] r 距离 * @param[in] h 有效半径 * @return 函数值 */inline double RxKernelFourth(const double &r, const double &h){    double q = 3*r/h;    if(q >= 0.0 && q < 1.0){        double q3 = (3-q)*(3-q)*(3-q)*(3-q)*(3-q);        double q2 = (2-q)*(2-q)*(2-q)*(2-q)*(2-q);        double q1 = (1-q)*(1-q)*(1-q)*(1-q)*(1-q);        return 9.0/(40.0*RX_PI*pow(h, 3))*(q3-6.0*q2+15.0*q1);    }    else if(q >= 1.0 && q < 2.0){        double q3 = (3-q)*(3-q)*(3-q)*(3-q)*(3-q);        double q2 = (2-q)*(2-q)*(2-q)*(2-q)*(2-q);        return 9.0/(40.0*RX_PI*pow(h, 3))*(q3-6.0*q2);    }    else if(q >= 2.0 && q < 3.0){        double q3 = (3-q)*(3-q)*(3-q)*(3-q)*(3-q);        return 9.0/(40.0*RX_PI*pow(h, 3))*(q3);    }    else{        return 0.0;    }} /*! * Fourth-order加权函数梯度值的计算 * @param[in] r 距离 * @param[in] rij 相对位置 * @param[in] h 有效半径 * @return 梯度值 */inline Vec3 RxKernelFourthG(const double &r, const Vec3 &rij, const double &h){    double q = 3*r/h;    if(q >= 0.0 && q < 1.0){        double q3 = (3-q)*(3-q)*(3-q)*(3-q);        double q2 = (2-q)*(2-q)*(2-q)*(2-q);        double q1 = (1-q)*(1-q)*(1-q)*(1-q);        return -27.0/(8.0*RX_PI*pow(h, 4))*(q3-6.0*q2+15.0*q1)*rij/r;    }    else if(q >= 1.0 && q < 2.0){        double q3 = (3-q)*(3-q)*(3-q)*(3-q);        double q2 = (2-q)*(2-q)*(2-q)*(2-q);        return -27.0/(8.0*RX_PI*pow(h, 4))*(q3-6.0*q2)*rij/r;    }    else if(q >= 2.0 && q < 3.0){        double q3 = (3-q)*(3-q)*(3-q)*(3-q);        return -27.0/(8.0*RX_PI*pow(h, 4))*(q3)*rij/r;    }    else{        return Vec3(0.0);    }} /*! * Fourth-order加权函数拉普拉斯算子的计算 * @param[in] r 距离 * @param[in] h 有效半径 * @return 拉普拉斯算子的值 */inline double RxKernelFourthL(const double &r, const double &h){    double q = 3*r/h;    if(q >= 0.0 && q < 1.0){        double q3 = (3-q)*(3-q)*(3-q);        double q2 = (2-q)*(2-q)*(2-q);        double q1 = (1-q)*(1-q)*(1-q);        return 81.0/(2.0*RX_PI*pow(h, 5))*(q3-6.0*q2+15.0*q1);    }    else if(q >= 1.0 && q < 2.0){        double q3 = (3-q)*(3-q)*(3-q);        double q2 = (2-q)*(2-q)*(2-q);        return 81.0/(2.0*RX_PI*pow(h, 5))*(q3-6.0*q2);    }    else if(q >= 2.0 && q < 3.0){        double q3 = (3-q)*(3-q)*(3-q);        return 81.0/(2.0*RX_PI*pow(h, 5))*(q3);    }    else{        return 0.0;    }}

h为定值的时候,上式的α部分作为全局变量计算即可。
Kernel函数系数的计算

在SPH法的kernel函数W中,我们假设以下的条件成立。

sph_kernel.eq1.gif

由此,便可以计算出各kernel函数的系数。以Poly6 kernel函数(sph_kernel.eq2.gif)为例。
sph_kernel.eq3.gif

这里,sph_kernel.eq4.gif为所求系数。


在平面空间中,使用有效半径为h的圆积分。 如下图所示,用微小范围sph_kernel.eq5.gif积分。
sph_kernel.eq13.gif

使其值为1,得出。

sph_kernel.eq6.gif

kernel2d.jpg2维条件下

下面讨论3维空间的计算。如下图左,以球中心到表面延伸出的锥形内的微小体积做计算。 各边的长为sph_kernel.eq7.gifsph_kernel.eq8.gifsph_kernel.eq9.gif(图右), kernel函数的积分计算如下。
sph_kernel.eq10.gif

带入Poly6 kernel中计算。

sph_kernel.eq14.gif

sph_kernel.eq11.gif的条件下,得出。

sph_kernel.eq12.gif

kernel3d.jpg3维条件下
参考文献 

[1] Muller et al., Particle-Based Fluid Simulation for Interactive Applications, SCA2003.

[2] Desbrun and Cani, Smoothed Particles: A new paradigm for animating highly deformable bodies, Eurographics Workshop on Computer Animation and Simulation (EGCAS), 1996.

[3] Monaghan, Smoothed particle hydrodynamics, Annual Review of Astronomy and Astrophysics, 30, pp543-574, 1992.

[4] Becker and Teschner, Weakly compressible SPH for free surface flows, SCA2007.
0 0
原创粉丝点击