leetcode——Find the Duplicate Number

题目：

Given an array nums containing n + 1 integers where each integer is between 1 andn (inclusive), prove that at least one duplicate number must exist. Assume that there is only one duplicate number, find the duplicate one.

Note:

1. You must not modify the array (assume the array is read only).
2. You must use only constant, O(1) extra space.
3. Your runtime complexity should be less than O(n2).
4. There is only one duplicate number in the array, but it could be repeated more than once.

方法一：二分法

分析：

        n+1个数属于区间[1, n]，必然存在重复（抽屉原则），抽象地，超过(b-a+1)个数属于区间[a, b]必然也存在重复。比较粗鲁的方式是在nums中分别搜索1~n，判断有没有重复，时间复杂度o(n^2)不行。一定需要遍历数组n次么？可不可以少一点呢？

        考察n/2，遍历nums，如果小于等于n/2的数超过n/2，那么区间[1, n/2]中必然存在重复；如果不超过n/2，说明属于区间[n/2+1, n]中的数(n+1-n/2)大于n/2，因此区间[n/2+1, n]中必然存在重复的数。利用这种方式可以折半查找区间，时间复杂度(nlgn)。

class Solution {public:    int findDuplicate(vector<int>& nums) {        int first = 1, last = nums.size() - 1;//两边都是闭区间        while (first < last) //如果first==last，那么first就是要找的数        {            int mid = first + (last - first) / 2;            //统计小于等于mid的数的个数            int count = 0;            for (auto p : nums)             {                if (p <= mid)                 {                    ++count;                }            }            //分成两个区间[first, n/2]和[n/2+1, last]            if (count > mid) //[1, 2, ..., n/2]共n/2个数，如果count > n/2，那么必然存在重复            {                last = mid;            }             else             {                first = mid + 1;            }        }        return first;    }};

方法二：链表找环 https://segmentfault.com/a/1190000003817671

        假设数组中没有重复，那我们可以做到这么一点，就是将数组的下标和1到n每一个数一对一的映射起来。比如数组是213,则映射关系为0->2, 1->1, 2->3。假设这个一对一映射关系是一个函数f(n)，其中n是下标，f(n)是映射到的数。如果我们从下标为0出发，根据这个函数计算出一个值，以这个值为新的下标，再用这个函数计算，以此类推，直到下标超界。实际上可以产生一个类似链表一样的序列。比如在这个例子中有两个下标的序列，0->2->3。

        但如果有重复的话，这中间就会产生多对一的映射，比如数组2131,则映射关系为0->2, {1，3}->1, 2->3。这样，我们推演的序列就一定会有环路了，这里下标的序列是0->2->3->1->1->1->1->...，而环的起点就是重复的数。

        所以该题实际上就是找环路起点的题，和Linked List Cycle II一样。我们先用快慢两个下标都从0开始，快下标每轮映射两次，慢下标每轮映射一次，直到两个下标再次相同。这时候保持慢下标位置不变，再用一个新的下标从0开始，这两个下标都继续每轮映射一次，当这两个下标相遇时，就是环的起点，也就是重复的数。

class Solution {public:    int findDuplicate(vector<int>& nums) {        int slow = 0, fast = 0;        do         {            slow = nums[slow];            fast = nums[nums[fast]];//每次跨过两个结点        }        while (slow != fast);                //再定义一个慢指针从起点出发，与slow相遇在环的入口        int find = 0;        while (slow != find)         {            slow = nums[slow];            find = nums[find];        }        return find;    }};