JZOJ 3466.选课(select)

Problem

Description

你真的认为选课是那么容易的事吗？HYSBZ的ZY同志告诉你，原来选课也会让人产生一种想要回到火星的感觉。假设你的一周有n天，那么ZY编写的选课系统就会给你n堂课。但是该系统不允许在星期i和星期i+1的时候选第i堂课，也不允许你在星期n和星期一的时候选第n堂课。然后连你自己也搞不清哪种选课方案合法，哪种选课不合法了。你只想知道，你到底有多少种合法的选课方案。

Input

有多组数据，请读到文件末结束。
对于每组数据仅一行，1个正整数 n。

Output

对于每组输出只有一行，1个非负整数，为选课方案数量 mod (10^9+7).

Sample Input

2
4

Sample Output

0
2

Hint

对于样例二：
周一上第二堂课，周二上第三堂课，周三上第四堂课，周四上第一堂课；
周一上第三堂课，周二上第四堂课，周三上第一堂课，周四上第二堂课。
共2种选课方案。

Data Constraint

对于第i组数据，n<=10*i, 1<=i<=3
对于100%的数据：1<=n<=100000

Solution

容斥原理，因为第i天和第i+1天不能选第i堂课，所以我们设选错课的数对为(i,i+1),那么n个数对便组成了一个序列：(1,2),(2,3),(3,4)…(n,1) 简单一点就是(1,2,2,3,3,….,n,1) 设选错k节课的方案数为W(k).那么刚好选错k节课就是在这个序列中选出k个数，且他们的位置两两互不相邻。这个序列实质是一个环。但我们可以想得简单一些。我们可以将这个环拆成一个序列。
设这个序列有2n-k+1个球，其中k个涂成黑色的。
●●○○○●○●
那么可以让除最右边的一个黑球外的所有黑球都往右吐一个白球。
●○●○○○○●○○●
这个序列有2n-k+1个元素，选k个，那么方案数就是Ck2n−k+1
然而我们回到环的问题，有可能最后一个是黑球，且第一个是白球，这种情况是要舍去的。因为变成一个环后，这两个黑球相邻。第一个和最后一个若都涂，那么第二个和倒数第二个都不涂。因此，我们要从剩下的(2n-4)个球选出(k-2)个涂成黑色的。那么方案数就是Ck−2(2n−4)−(k−2)+1.
因为我们只选错了k节课，因此剩下的n-k节课可以随便选。即要乘上(n-k)!
此时W(k)=(n-k)!Ck2n−k+1Ck−2(2n−4)−(k−2)+1
容斥原理我在此不多说。
——2016.7.6