卡特兰数(Catalan Number)

卡特兰数基本递推公式：

原理：h(0)=1, h(1)＝1，h(2)＝2，h(3)＝5，h(4)＝14，h(5)＝42，h(6)＝132，h(7)＝429，h(8)＝1430，h(9)＝4862......

令h(0)=1,h(1)=1，卡特兰数满足递推式：h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (n>=2)

例如：

h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=1*1+1*1=2 

h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=1*2+1*1+2*1=5

变形递推关系：

递推式（2）： 　　 h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1);
递推关系的解为： h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=0,1,2,3,...)
递推关系的另类解为： h(n)=C(2n,n)-C(2n,n+1)(n=0,1,2,3,...)

卡特兰数的应用

（1）矩阵连乘： P=a1×a2×a3×……×an，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种方案？

思路：首先通过括号化，将P分成两个部分，然后分别对两个部分进行括号化。比如分成(a1)×(a2×a3.....×an)，然后再对(a1)和(a2×a3.....×an)分别括号化；又如分成(a1×a2)×(a3.....×an)，然后再对(a1×a2)和 (a3.....×an)括号化。

则 f(n) = f(1)*f(n-1) + f(2)*f(n-2) + f(3)*f(n-3) + f(n-1)*f(1)。

（2）有n个节点的二叉树共有多少种情形？

       思路：h(n)表示这n个元素一共可以构成h(n)个不同的二叉树。如果选取a0作为根节 点，那么其左子树包含0个元素，左子树的数目是h(0)；其右子树包含n-1个元素，右子树的数目是h(n-1);以a0为根节点的二叉树的数目是 h(0)*h(n-1)。如果选取a1作为根节点，那么其左子树包含1个元素a0，左子树的数目是h(1);其右子树包含h(n-2)个元素，右子树的数 目是h(n-2);以a1为根节点的二叉树的数目是h(1)*h(n-2)。

则h(n)=h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2)+…+h(i)*h(n-1-i)+…+h(n-1)*h(0)。

（3）一个栈的进栈序列为1，2，3，…，n，有多少个不同的出栈序列?

（4）买票找零问题

（5）在圆上选择2n个点，将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数？

（6）n*n的方格地图中，从一个角到另外一个角，不跨越对角线的路径数为h(n).

（7）圆桌周围有 2n个人，他们两两握手，但没有交叉的方案数为h(n)

（8）求一个凸多边形区域划分成三角形区域的方法数？

（9）10个高矮不同的人，排成两排，每排必须是从矮到高排列，而且第二排比对应的第一排的人高，问有多少种排列方式?