傅立叶分析导论-7有限傅立叶分析

1 Fourier analysis on Z(N)

(1)是显然的，因为{e∗i}是正交基，V是N维的，但是在怎么具体证明想了半天：
||F||2=(F,F)=(∑(F,e∗n)e∗n,F)=∑(F,e∗n)(e∗n,F)=∑(F,e∗n)2
Theorem1.2的证明用的就是这个式子。

2 Fourier analysis on finite abelian groups

2.2 Characters

Lemma 2.1,
需要证明G^满足abelian group的4个属性
(i)associativity 容易证明
(ii) identity trivial character
(iii)对于任意e1，只需要定义e2=1/e1即可，只要e1(ab)=e1(a)e1(b)，就有e2(ab)=1/(e1(ab))=e2(a)e2(b)
(iv)容易证明

EXAMPLE2
前面G^说的是finite abelian group，但是这里S1不是finite

3 Exercise

1
(a)obvious
(b)根据积分定义计算积分a(n)，考虑[0,1]的分割[k/N,(k+1)/N]，根据积分定义可以得出结论

2 这个和练习3的结果类似第2章exercise10和Corollary2.4
复变函数连续可微的性质不太清楚，不会做，如何估计1−e2πil/N

3
类似2

4
e(a+b)=e(a)e(b)
那么e(a)=e(a)e(0)
e(0)=1
e(a)=eia∗
其中0∗=0
ei(a∗+b∗)=ei(a∗+b∗)%N
由于Z(N)周期为N，eix周期为2π，所以e(a)
第一部分证明分2步:
存在性
唯一性
第二部分证明