PAT Counting Ones (30)

题目

题目描述The task is simple: given any positive integer N, you are supposed to count the total number of 1's in the decimal form of the integers from 1 to N.  For example, given N being 12, there are five 1's in 1, 10, 11, and 12.输入描述:Each input file contains one test case which gives the positive N (<=230).输出描述:For each test case, print the number of 1's in one line.输入例子:12输出例子:5

解题思路

1.分别计算每个位置上的1出现的个数再相加， 首先将原数字分为三部分，before+d+after，该位的数字为d，其前面的数字为before，后面为after，然后再对其进行分析，例如：
2.分析任意一个三位数，求从0到该三位数的所有数字中十位上出现1的数字的个数：

1. 例如对于222，则其百位+十位的组合只能是，01 11 21

百位和十位组合 实例222 01 010 011 012 … 019 11 110 111 112 … 119 21 210 211 212 … 219

2. 对于202 则其百位+十位的组合只能是，01 11 ，对比可以发现该位上的数字d为0，所以不能取到21，即与该位上的数字是否大于等于1有关。

百位和十位组合 实例202 01 010 011 012 … 019 11 110 111 112 … 119

3.例如对于212，则其百位+十位的组合只能是，01 11 21，且21 后面只能有三种可能，如下：

百位和十位组合 实例212 01 010 011 012 … 019 11 110 111 112 … 119 21 210 211 212

把上述三者结合可以发现，假如before=2，那么后面百位+十位的组合至少都有俩种，即01 11（即不超过21就行），什么时候有三种组合呢，即如果d>1，如222，d=2>1,那么百位+十位就有三种情况，且可以把21取完，即包括210 211 212 … 219，有十种情况，而当d=1，如212，此时也有三种情况，但21这种情况不能取完，只能取 210 211 212 三种（after=2，可以从0取到2，有after+1种情况）。

1. 验证如下：
   对于122，百位+十位有 01 11（即before=1+1，因为d=2>1，即可以把11这种组合的所有可能都取完），如下：

百位和十位组合 实例122 01 010 011 012 … 019 11 110 111 112 … 119

对于102，则只有 01 这种可能（d<1,不能取到11），即：

百位和十位组合 实例102 01 010 011 012 … 019

对于112，有01 11俩种情况，但11不能取完（d=1），且只能取110 111 112（即after+1=3，3种情况），即：

百位和十位组合 实例112 01 010 011 012 … 019 11 110 111 112

总结为：

1. 每个位上出现1的次数与before有关，且至少有before*pow(10,w)个，这里w是after的位数。例如222，三位数，求的是十位上的数字为1的数字出现的次数，百位跟十位已经确定了有三种情况，这里after为1位数，即可以从0变化到9即有10种可能，例如百位+十位为01，则有010 011 … 019这十种可能。

2. 每个位上出现1的次数还与该位上的数字d有关，如果d>1,则上述总结1还要加一种可能，即有（before+1）*pow(10,w)个。例如222：即如果202，至少可取01 11，例如222 d=2>1，还可以取21，且也可以把21后面的取完。

3. 每个位上出现1的次数还与该位上的数字d有关，如果d=1,则有before*pow(10,w)+（after+1）个。例如222，212，202，百位+十位至少都可以取01 11，然后对于d=1，即212，还可以取210 211 212这三种情况。

代码解释

• 1.考虑每个位置上出现1的数字的个数，然后相加。
• 2.求出每个位置的before，d，after。
• 3.按照上述总结的三种情况求每个位置上出现1的数字的个数。

代码

#include<iostream>#include<algorithm>using namespace std;int main(){    int n; cin >> n;    int after = 0,w=0,sum=0;    while (true)    {        //求出每个位置的before，d，after（个位的after=0）。        if (n <= 0)            break;        int before = n / 10;        int d = n % 10;        //d>1的情况        sum += (before + ((d>1) ? 1 : 0))*pow(10, w);        //d=1的情况        if (d == 1)            sum += after+1;        //下一轮的after和w        after = d*pow(10, w) + after;        w++;        n = n / 10;    }    cout << sum << endl;    return 0;}