博弈论

SG如何得到：
首先定义mex(minimal excludant)运算，这是施加于一个集合的运算，表示最小的不属于这个集合的非负整数。例如mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。

对于一个给定的有向无环图，定义关于图的每个顶点的Sprague-Grundy函数g如下：g(x)=mex{ g(y) | y是x的后继 },这里的g（x）即sg[x]

例如：取石子问题，有1堆n个的石子，每次只能取{1，3,4}个石子，先取完石子者胜利，那么各个数的SG值为多少？

sg[0]=0，f[]={1,3,4},

x=1时，可以取走1-f{1}个石子，剩余{0}个，mex{sg[0]}={0}，故sg[1]=1;

x=2时，可以取走2-f{1}个石子，剩余{1}个，mex{sg[1]}={1}，故sg[2]=0；

x=3时，可以取走3-f{1,3}个石子，剩余{2,0}个，mex{sg[2],sg[0]}={0,0}，故sg[3]=1;

x=4时，可以取走4-f{1,3,4}个石子，剩余{3,1,0}个，mex{sg[3],sg[1],sg[0]}={1,1,0},故sg[4]=2;

x=5时，可以取走5-f{1,3,4}个石子，剩余{4,2,1}个，mex{sg[4],sg[2],sg[1]}={2,0,1},故sg[5]=3；

以此类推…..

x     0 1 2 3 4 5 6 7 8....sg[x] 0 1 0 1 2 3 2 0 1....

计算从1-n范围内的SG值。

f(存储可以走的步数，f[0]表示可以有多少种走法)

f[]需要从小到大排序，这个模版f是从1开始的。hash数组大小跟f[]大小差不多

1.可选步数为1~m的连续整数，直接取模即可，SG(x) = x % (m+1);

2.可选步数为任意步，SG(x) = x;

3.可选步数为一系列不连续的数，用GetSG()计算

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SG打表模板

const int MAXN = 50000;int f[MAXN], _vis[MAXN], sg[MAXN];void getSg(const int &n, const int &length){    mes(sg, 0);    for(int i = 1; i <= n; ++i){        mes(_vis, 0);        for(int j = 0; f[j] <= i && j < length; ++j){ //length表示数组f的长度            _vis[sg[i-f[j]]] = 1;        }        for(int k = 0; ; ++k){            if(0 == _vis[k]){                sg[i] = k;                break;            }        }    }}int main(){    while(true){        int length;        int n;        cin >> length >> n;        for(int i = 0; i < length; ++i){            cin >> f[i];        }        getSg(n, length);        for(int i = 0; i <= n; ++i){            printf("Case %d\'s SG is %d\n", i, sg[i]);        }    }    return 0;}

威佐夫博弈

威佐夫博弈（Wythoff Game）：有两堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。这种情况下是颇为复杂的。我们用（ak，bk）（ak ≤ bk ,k=0，1，2，...,n)表示两堆物品的数量并称其为局势，如果甲面对（0，0），那么甲已经输了，这种局势我们称为奇异局势。前几个奇异局势是：（0，0）、（1，2）、（3，5）、（4，7）、（6，10）、（8，13）、（9，15）、（11，18）、（12，20）。可以看出,a0=b0=0,ak是未在前面出现过的最小自然数,而 bk= ak + k。这里的k = {1,2,3,4，....,n};

#define scin(n) scanf("%d", &n)#define scout(n) printf("%d\n", n);typedef long long ll;typedef unsigned long long ull;const double eps = 1e-6;const int maxn = 50010;using namespace std;int main(){    fin;    int Case;    double goldSum = (1+sqrt(5))/2.0;    scin(Case);    while(Case--){        int ak, bk, k, n;        scin(ak);        scin(bk);        if(ak < bk){            swap(ak, bk);        }        k = ak - bk;        n = floor(k*goldSum);        cout << ((n == b)?"B":"A") << endl;    }    return 0;}