Digimat-MF:广义平均结果(General averaging results)

来源:互联网 发布:bbs url 网络推广 编辑:程序博客网 时间:2024/03/29 06:07

  两尺度(更广义的是多尺度)方法的主要困难是求解RVE问题。在宏观层级上进行经典连续介质力学分析时,每个宏观点X上,给定宏观应变E(X),需要求解宏观应力σ(X),反之亦然。
  在RVE(区域为ω,体积为V)上对场f进行的平均化定义为:

f(X,x)1Vωf(X,x)dV

其中,积分是在微观坐标上进行的,f(X,x)是RVE内部的微观场。
  以下为了简化表述,省略了宏观坐标X。考虑两种经典的边界条件:(1)线性位移;(2)均匀力。前者对应的宏观应变(或者施加的宏观位移梯度),后者对应已知的宏观应力。

宏观位移梯度G和应变E=(G+GT)/2

  在微观层级,RVE的边界ω上施加线性位移

ui(x)=Gijxj,xω

  结果:平均应变等于宏观应变,即εij=Eij

宏观应力σ

  在微观层级,在边界ω上施加力:
  

Fi(x)=σijnj(x),xω

其中,n为边界ω上朝外的单位法向量。
  结果:平均应力等于宏观应力
σij=σij

结论

  对于处在经典边界条件下的RVE,宏观应变和应力等于RVE的体积平均值(RVE内部的微观应变和应力是未知的)。
  考虑任意自平衡的微观应力场和微观应变场

σij=σji,σijxj=0,xω,εij=12(uixj+ujxi)

其中u(X)是与ε(X)对应的微观位移场。
  注意:σ(X)ε(X)不需要相关。
  如果ε(X)满足在边界ω上的线性位移边界条件(1)或者σ(X)满足在边界ω上的均匀力边界条件(2),那么
σ:ε=σ:ε

  这就是熟知的Hill’s macro-homogeneity condition或者Hill-Mandell条件。在线弹性情况下,条件有着简单有力的解释:如果σ(X)ε(X)相关,那么微观能的平均值等于宏观能。

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