矩阵的一些常用结论

矩阵有时候有一些常用的结论与性质，如果有一段时间不接触或者实际中没使用到，很容易就会遗忘。因此，特意做一个小小的总结，方便使用与查询。

1.矩阵A的全部特征值的集合通常被称为A的谱。
2.|A|=λ1λ2⋯λn，或者时候A的行列式为所有特征值的乘积。
3.∑ni=1aii=∑ni=1λi

矩阵A的主对角线上的所有元素和∑ni=1aii被称为矩阵的迹，记为trA。于是，上面的第3条又可以记为:

4.trA=∑ni=1λi
5.矩阵A与AT有相同的谱。
6.如果A，B是两个n阶矩阵，若存在n阶可逆矩阵P，P−1AP=B，则成A与B相似，记为A∼B，P为A到B的相似变换矩阵。
7.如果A∼B，则:

|λI−B|=|λI−P−1AP|=|P−1(λI−A)P|=|λI−A|

由上易知，如果A∼B，则矩阵A，B有相同的谱。
8.n阶方阵A可以相似对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。

9.A为n阶方阵，A的特征多项式为:

det(λI−A)=(λ−λ1)m1(λ−λ2)m2⋯(λ−λs)ms

其中，mi均为正整数，∑si=1=n，λ1,λ2,⋯,λs为A的不同特征值，mi为特征值λi的代数重数记为pi。特征值λi对应的全部特征向量正好是特征方程组(λiI−A)X=0的全部非0解。因此，A属于特征值λi的线性无关的特征向量最多有n−r(λiI−A)个，这个数也就是特征方程组(λiI−A)X=0的一组基础解系中所含有解向量的个数，即解空间的位数，被称为特征值λi的几何重数，记为qi。

10.设λ1,λ2,⋯,λs为A的全部互异的特征值，pi，qi分别为特征值λi的代数重数与几何重数，i=1,2,⋯,s。则矩阵A可以相似对角化的虫咬条件是:

pi=qi,i=1,2,⋯,s

11.实对称矩阵属于不同特征值的特征向量是正交的。
12.λ0是n阶实堆成矩阵A的任一特征值，p,q分别为它的代数重数与几何重数，有p=q。
13.由前面一条结论可知，对任一n阶实对称矩阵A，存在n阶正交矩阵Q，有

Q−1AQ=diag(λ1,λ2,⋯,λs)