【JZOJ 4798】天使的分裂

Description

Solution

其实这一道题只是一道矩阵乘法。

Solution1

题解的做法是这样的：

所以有递推式：Fn=Fn−2+Fn−1+fn
直接用矩阵乘法。

复杂度：O(log(n))

Solution2

下图表示的是F0−3的情况，每个字母代表一个数，蓝线表示乘起来，（一不小心打成大写的了QAQ，凑合着看吧）

有一个很显然的结论：fifi+2=fi(fi+fi+1)=f2i+fifi+1，
我们试把0的情况和1的情况加起来，于2进行比较，发现很多都可以两两抵消，只多了a2+b2，也就是中间的几个，并且只要标号是偶数，剩下的一定是中间的两个（读者可以自己在草稿纸上推一下即可发现）。即Fi=Fi−2+Fi−1+f2i/2−1+f2i/2(imod2=0)
而对于奇数i的情况（如把情况1加2与情况3比较），我们发现，两两可以抵消只剩下情况i-1中的中间的数的平方，和情况i的中间两个的互相乘。即Fi=Fi−2+Fi−1−f2i/2+2∗fi/2∗fi/2+1(imod2=1)
再仔细一化简，发现每轮另外加的f存在递推关系（其实就是斐波拉切数列）。
所以有递推式：Fn=Fn−2+Fn−1+fn
直接用矩阵乘法。

复杂度：O(log(n))

Code

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstdlib>#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)using namespace std;typedef long long LL;const int N=5,mo=998244353;LL n;LL f[N]={2,1,1,1,3};LL a[N][N]={{1,1,0,0,1},{1,0,0,0,1},{1,0,1,1,1},{1,0,1,0,1},{0,0,0,0,1}};LL s[N][N];void chenj(){    fo(i,0,4)        fo(j,0,4)        {            s[i][j]=0;            fo(k,0,4)s[i][j]=(s[i][j]+a[i][k]*a[k][j]%mo)%mo;        }    fo(i,0,4)        fo(j,0,4)a[i][j]=s[i][j];}void chen(){    fo(i,0,4)    {        s[1][i]=0;        fo(j,0,4)s[1][i]=(s[1][i]+a[j][i]*f[j]%mo)%mo;    }    fo(i,0,4)f[i]=s[1][i];}int main(){    int q,w;    scanf("%lld",&n);    if(!n){printf("1\n");return 0;}    n--;    while(n)    {        if(n&1)chen();        chenj();n>>=1;    }    printf("%lld\n",f[4]);    return 0;}