MIMO中矩阵的小笔记（正定，半正定）

判断矩阵正定三个条件

1. 顺序主子式都>0

2. 特征值都>0

3. 矩阵的正惯性指数=n（矩阵的阶数）

如果半正定的话，那么是≥0，其物理意义就是发送信号的能量大于等于0，即可以部分天线不发送。

奇异矩阵和非奇异矩阵

如果A（n×n）为奇异矩阵（singular matrix），那么矩阵A的秩，Rank(A)＜n。

如果A（n×n）为非奇异矩阵（nonsingular matrix），那么矩阵A满秩，Rank(A)=n。

其中矩阵的秩的意思是，纵秩为其矩阵的线性无关的纵列的最大数目，行秩为矩阵的线性无关的横行的最大数目。

矩阵的迹

矩阵X的主对角线上所有元素之和称为X的迹，记为tr(X)，即tr(X)=Σx_ii。

在对角矩阵中，实际上就是对角线上值的和。如果svd分解完的矩阵，中间的矩阵正定，就是其能量。在MIMO中，其矩阵的迹是能量。

正惯性指数

正惯性指数是矩阵二次型的标准型中平方项系数的正负个数。

二次型的矩阵

• f(x,y)=x²+4xy+5y²
• f(x,y,z)=2x²+y²+4xz+yz
• f(x1,x2,x3,x4)=x1x2+x2x3+x2x4

不是二次型的矩阵

• f(x,y)=x²+y²+5
• f(x,y)=2x²-y²+2x

二次型的标准型

只含有平方项的二次型称为二次型的标准型（或法式），即

• f=k1y1²+k2y2²+ ... +knyn²

例如

• f(x1,x2,x3)=x1²+4x2²+4x3²，即是二次型的标准型。