[ 备战NOIP2016 ] 线段树

线段树

1. 线段树是擅长处理区间的完美二叉树。

2.线段树的每个节点都代表一段区间，如果有n个数需要修改，可以在O(logn)的时间里修改操作。

一.RMQ问题(Range Min/Max Query-区间最小/大值)

操作1：求a[s~e]中的最小值 。

操作2：修改a_i 的值。

洛谷裸题：P2251

①线段树RMQ

以下为代码：

//开始时将所有值设为1<<32const int MAX_N = 1<<17,INF=1<<31-1;int n, data[MAX_N*2 - 1];//初始化 n_为元素个数(1...n)void init(int n_){    n=1;    //方便起见，将元素个数扩展至2的幂    while(n<n_)n<<=1;    //为所有元素设初始值    for(int i=1;i<=2*n-1;i++)data[i]=INF;}//把第k个值改成x(1-indexed)void update(int k,int x){    k+=n-1; //获取单节点k的位置    data[k]=x;    while(k>0){        k=k>>1;//得到其上的节点        //获得此时的两个子节点中的最小值        data[k]=min(data[k<<1],data[k<<1|1]);    }}//求[s,e)的最大/小值//k,l,r是为了计算方便//外部调用：query(s,e,0,0,n);int query(int s,int e,int k,int l,int r){    if(r<=a || e<=l) return INF;    if(s<=l && r<=e) return data[k]    return min(query(s,e,k*2,l,l+r>>1),query(s,e,k*2+1,l+r>>1,r));}

②倍增RMQ link

const int MAXINT =0x7f;int x,y,n,m,w,v,d;int a[100005];int f[100005][20];int query_rmq(int i,int j){    int k=log(j-i+1) / log(2);    return min(f[i][k],f[j-(1<<k)+1][k]);}int main(){    memset(f,-1,sizeof(f));    cin>>n>>m;    for(int i=1;i<=n;i++){        cin>>a[i];        f[i][0]=a[i];    }    for(int j=1;j<=20;++j)        for(int i=1;i<=n;++i)            if(i+(1<<j)-1<=n)                f[i][j]=min(f[i][j-1],                            f[i+(1<<(j-1))][j-1]);      rep(i,1,n-m+1){        cout<<query_rmq(i,i+m-1)<<endl;     }   }

②打标记的线段树（常用）

inline void pushUp(int k){    a[k]=a[k<<1]+a[k<<1|1];}inline void pushDown(int l,int r,int k){    a[k]+=(ll)(r-l+1)*pluss[k];    pluss[k<<1]+=pluss[k];    pluss[k<<1|1]+=pluss[k];    pluss[k]=0;}void build(int l,int r,int k) {    if (l==r)         a[k]=b[l];    else {        int mid=(l+r)>>1;        build(l,mid,k<<1);        build(mid+1,r,k<<1|1);        pushUp(k);    }}ll query(int k,int l,int r,int l0,int r0){    pushDown(l,r,k);    if(l0<=l && r<=r0) return a[k];    ll ans=0;    int mid=(l+r)>>1;    if(l0<=mid) ans+=query(k<<1,l,mid,l0,r0);    if(r0> mid) ans+=query(k<<1|1,mid+1,r,l0,r0);    return ans;}ll edit(int k,int l,int r,int l0,int r0,ll v){    if(l0<=l && r<=r0){        pluss[k]+=v;        pushDown(l,r,k);    }    else {        int mid=(l+r)>>1;        if(l0<=mid) edit(k<<1,l,mid,l0,r0,v);        if(r0> mid) edit(k<<1|1,mid+1,r,l0,r0,v);        pushDown(l,mid,k<<1);        pushDown(mid+1,r,k<<1|1);        pushUp(k);    }}int main(){    ios::sync_with_stdio(false);    cin.tie(0);    int n,m;    cin>>n>>m;    for (int i=1;i<=n;++i) cin>>b[i];    build(1,n,1);    while (m--) {        int type=0,x=0,y=0;        cin>>type>>x>>y;        if (type==1) {            ll k=0;            cin>>k;            edit(1,1,n,x,y,k);        } else cout<<query(1,1,n,x,y)<<endl;    }    return 0;   }