曲线斜率与法向量综合辨析

参考：
http://wenku.baidu.com/link?url=AxjATkZdZg4NOER0_7dWz18OdacwtEWFcr5kZgmrBexxmJzS9M5D_fqlBsFIpBNlq1ZuZu6Qd6mg8fgXaayFA7O2IR4PXNseeYy9V_62bWW

用函数表达式与方程表达的变量之间关系是有一点点区别的。
从一元看起。
y=f(x),那么一点处的斜率k=f′(x)
这个斜率是切线的斜率。

形成一种很重要的直觉是：偏导数构成的是法向量，参数导数构成的是切向量

1.平面曲线的切线与法线

曲线: F(x,y)=0
法向量:n→=(F′x(x0,y0),F′y(x0,y0))
则切线方程：F′x(x0,y0)(x−x0)+F′y(x0,y0)(y−y0)=0
法线方程：F′y(x0,y0)(x−x0)−F′x(x0,y0)(y−y0)=0

如果平面曲线的写法是：x=x(t),y=y(t)
那么易求得的是切向量：τ→=(x′(t),y′(t))

这个关系要明确：
n→⋅τ→=0→

2.空间曲线的切线与法线

空间曲线之参数表达#####：

x=x(t),y=y(t),z=z(t)
则空间曲线一点处的切向量是：(x′(t),y′(t),z′(t))
那么一点P0(x0,y0,z0)处的切线是：

x−x0x′(t0)+y−y0y′(t0)+z−z0z′(t0)=0

再由法平面定义可知切向量用作法平面的法向量，因为互相垂直的关系。

这个切向量也用作过这一点且与切线垂直的平面的法向量。
因此法平面的方程是：

x′(t0)(x−x0)+y′(t0)(y−y0)+z′(t0)(z−z0)=0

空间曲线之平面表达

F(x,y,z)=0,G(x,y,z)=0
既然仍然是曲线，那么求得的还是以切向量为切入点。这里用到的方法是Jacob矩阵+行列式法。因为题中给的往往是不可化为参数形式的两个曲面。
Jacob矩阵：
[F′xG′xF′yG′yF′zG′z]
由这个矩阵出发写出二阶行列式。
Jxy=∣∣∣∣F′xG′xF′yG′y∣∣∣∣

Jxz=∣∣∣∣F′xG′xF′zG′z∣∣∣∣

Jyz=∣∣∣∣F′yG′yF′zG′z∣∣∣∣

这个行列式计算出来以后，就可以写出切向量了。
τ→=(Jyz,Jxz,Jxy)
那么问题就统一可解了。

3.曲面的切线与法线

待补充。