判断素数算法的改进

1.素数的定义：

如果一个正整数n只能被1和它本身整除，则这个正整数n就是素数（prime）。

2.1  IsPrime的简单版本

（1）检查1到n之间的每个数，看它是否能整除n。

（2） 每次遇到一个新约数，计数器加1。

（3）在所有的数都被测试以后，检查约数计数器的值是否为2。

程序如下：

bool IsPrime(int n){int divisors = 0;for(int i = 1;i <=n;i++){if(n%i == 0) divisors++;}return (divisors == 2);}

2.2 改进算法效率

上述算法从定义出发，算法时间复杂度为O(n)，当n很大的时候，算法效率低下。改善算法效率有三种方案：

1）没有必要检查所有的约数，只要发现任何大于1小于n的约数，就可以判断不是素数。

2）素数不可能是偶数。

3）改程序不需要检查直到n为止的所有约数。如它可以在一半的地方就停止，因为任何大于n/2的值不可能被n整除。进一步可以证明：程序不需要试探任何大于n的平方根的约数。

改进程序如下：

bool IsPrime(int n){if(n%2 == 0)return false;for(int i = 3;i <=sqrt(n);i+=2){if(n%i == 0)return false;}return true;}

上面的程序没有考虑到1,2的特殊情况；

还有就是在for循环中如果循环次数过多的话，每次循环都会调用sqrt函数，尽管每次都返回相同的结果，可以把她替换为一个数值；

此外，sqrt(49)可能返回6.999999或者7或者7.000001，依赖于机器。可以修改为多检查一个约数。

修改后的程序为：

bool IsPrime(int n){if(n<=1) return false;if(n<=2) return true;if(n%2 == 0)return false;int limit = sqrt(n)+1;for(int i = 3;i <=limit;i+=2){if(n%i == 0)return false;}return true;}