【快速傅立叶变换fft&数论变换ntt学习小记】
来源:互联网 发布:2018网络教育报名时间 编辑:程序博客网 时间:2024/04/26 07:45
概述
fft(快速傅立叶变换)是用来解决多项式乘法的nlog(n)算法,它的主要思想是先把多项式的多项式表达法转化成若干个二维点对(x,y)(点值),把相同x的y乘起来(计算),最后利用这些点对计算出多项式的多项式表达法的系数(插值)。这中间使用了n次单位复数根的一些特殊性质,采用分治的思想快速地完成点值和插值。
n次单位复数根
要想理解fft,首先要知道n次单位复数根有哪些神奇的性质。
定义
n次单位复数根是满足wn=1 的复数w。
wkn=e2πik/n ,其中wkn 是n个n次单位复数根中的第k个,i是虚数单位,i=−1−−−√
eiu=cos(u)+isin(u) ,其中三角函数是弧度制。
*以下内容是我自己脑补的
我们可以感性地认为w由两部分构成,复数的实数部和虚数部,分别设为x,y。w就是复(数)平面上的点(x,y),u代表的就是和x正轴夹角的弧度,通过sin,cos就可以求出坐标,表示出复数w。
性质
性质1
w1n 是w的主n此单位根,由wkn=e2πik/n 可以的得出win=wi−1n∗w1n ,整个定义都是指数形式的,是等比数列。
性质0
还记得刚刚那个图吗,由图可以感性得出wnn=w0n=1 ,为什么等于1,cos(0)=1。
性质2(群的性质)
wkn=wk%nn∗wn∗⌊k/n⌋n ,其中%是取模的意思。
=wk%nn∗(wnn)⌊k/n⌋
=wk%nn∗1⌊k/n⌋ (性质0)
=wk%nn
性质3(消去引理)
wdkdn=wkn ,由wkn=e2πik/n 可以得出,不就是上下约分吗。
性质4(折半引理)
(wk+n/2n)2=(wkn)2∗(wn/2n)2
=(wkn)2∗(wnn)2
=(wkn)2∗12 (性质0)
=(wkn)2
还记得刚刚那个图吗,这两个复数对应的点关于原点对称,其实相当于相反数关系。
性质5(求和引理)
∑n−1j=0(wkn)j=((wkn)n−1)/(wkn−1) ,等比数列求和
=((wnn)k−1)/(wkn−1)
=(1k−1)/(wkn−1) (性质0)
=0 ,当k!=0和k!=n时
点值
我们要求y(wn)=a0∗(wn)0+a1∗(wn)1……an∗(wn)n
令y0(wn)=a0∗(wn)0+a2∗(wn)2……
y1(wn)=a1∗(wn)1+a3∗(wn)3……
y(wn)=y0((wn)2)+w∗y1((wn)2)
=y0(wn/2)+w∗y1(wn/2) (性质3)
也就是说我们要求wn 对应的n个点值,可以把系数分组后由wn/2 对应的n/2个点值求出。
首先我们考虑怎么分组,我们把模2为0的放左边,把模2为1的放右边,相当于0,1分组,按低位分组,倒着按高位编号,可以用下面的图理解一下。
分解到剩一个时y值就是a。考虑合并答案,从小到大枚举块的大小,由性质4可以把当前块分成左右两部分,只用考虑一部分,两部分对应的两个u’,v’转移是相似的,因为他们的值是相反数,平方之后就没有影响,只是外面的系数w成相反数,所以可以同时处理。y(u′)=y(u)+w∗y(v),y(v′)=y(u)−w∗y(v)
所以整个点值的流程是,把每个位置的数按标号二进制反过来重新放置,从小到大枚举块的大小,每个块找出对应的两个位置,位置相差块的一半,然后转移一下就可以了。
插值
我们可以由定义得出将a矩阵变成y矩阵的矩阵v的第j行第k列是wkjn ,就是在多项式里自变量为wkn 。这里我们有一个结论,将y矩阵变成x矩阵的矩阵v−1 的第j行第k列是w−kjn/n
首先a∗v∗v−1=a ,那么v∗v−1 是一个值都为1的矩阵。
[v∗v−1]j,j′=∑n−1k=0wjknw−kj′n/n
=∑n−1k=0wk(j−j′)n/n
=∑n−1k=0(wj−j′n)k/n
=0 (性质5),当j!=j′ 时
当j=j′ 时,显然
∑n−1k=0(wj−j′n)k/n=∑n−1k=0w0n/n
=∑n−1k=01/n
=n/n
=1
有了这个结论后,我们只需要在插值的时候将wkn 变成w−kn 就可以直接套用点值时的做法,点值时的性质显然现在还符合。
这就结束了?
使用模运算的fft(原来这叫ntt)(有原根才能用)
由于我们使用了浮点数,当数据变大时我们的误差就变得不可接受,所以我们考虑化浮点数为整数。
我们用gk%p 代替w1n ,其中p是质数,p=kn+1。g是原根。
首先要(gk)n%p=(w1n)n=1
由于费马小定理ap−1=1(%p)
(gk)n%p=gkn%p=gp−1%p=1
有了w1n 我们就可以求出所有w(性质1)。
由于复数和普通的数本质上没有什么不同,所以之前的性质照样适用。
在这里提供一对比较好的g,p。g=3,p=1004535809。这里有一个问题,这样求出来的k可能不是整数(又产生了误差),可是我们发现n是2的指数次幂,而p-1的质因子有很多个2,多到n足够大都不会除不尽(在可接受复杂度内的n)。
贴上高精度乘法的代码
code(without mod)
#include<cmath>#include<cstdio>#include<algorithm>#define LD double#define LL long long#define min(a,b) ((a<b)?a:b)#define max(a,b) ((a>b)?a:b)#define fo(i,j,k) for(int i=j;i<=k;i++)#define fd(i,j,k) for(int i=j;i>=k;i--)using namespace std;int const maxn=1e5;int n,m,A,B;LL c[maxn*4+10];LD pi=acos(-1);struct rec{ LD x,y; rec(LD X=0,LD Y=0){x=X;y=Y;}};rec operator+(rec x,rec y){return rec(x.x+y.x,x.y+y.y);}rec operator-(rec x,rec y){return rec(x.x-y.x,x.y-y.y);}rec operator*(rec x,rec y){return rec(x.x*y.x-x.y*y.y,x.x*y.y+x.y*y.x);}rec a[maxn*4+10],b[maxn*4+10],t[maxn*4+10];void read(int &num,rec *a){ num=0;int v=0;char ch=getchar(); for(;(ch<'0')||(ch>'9');ch=getchar()); for(;(ch>='0')&&(ch<='9');a[num++]=ch-'0',ch=getchar()); int mx=num/2-1;fo(i,0,mx){rec tmp=a[i];a[i]=a[num-i-1];a[num-i-1]=tmp;}}int up(LD x){return int(x)+((int(x)==x)?0:1);}void DFT(rec *a,LD tag){ fo(i,0,n-1){ int pos=0; for(int j=0,ii=i;j<m;pos=(pos<<1)+(ii&1),ii=ii>>1,j++); t[pos]=a[i]; } for(int i=2;i<=n;i=i<<1){ int half=i>>1; fo(j,0,half-1){ rec w(cos(tag*pi*j/half),sin(tag*pi*j/half)); for(int k=j;k<n;k+=i){ rec x=t[k],y=w*t[k+half]; t[k]=x+y; t[k+half]=x-y; } } } fo(i,0,n-1)a[i]=t[i];}int main(){ freopen("d.in","r",stdin); freopen("d.out","w",stdout); read(A,a);read(B,b); m=up(log(max(A,B)<<1)/log(2));n=1<<m; DFT(a,1);DFT(b,1); fo(i,0,n-1)a[i]=a[i]*b[i]; DFT(a,-1); fo(i,0,n-1)c[i]=(a[i].x+1e-6)/n; fo(i,0,n-1){ c[i+1]+=c[i]/10; c[i]%=10; } for(;c[n]==0;n--); fd(i,n,0)putchar(c[i]+'0'); return 0;}
code(with mod)
#include<cmath>#include<cstdio>#include<algorithm>#define LD double#define LL long long#define min(a,b) ((a<b)?a:b)#define max(a,b) ((a>b)?a:b)#define fo(i,j,k) for(int i=j;i<=k;i++)#define fd(i,j,k) for(int i=j;i>=k;i--)using namespace std;int const maxn=1e5,g=3,mo=1004535809;int n,m,A,B,w[maxn*4+10],a[maxn*4+10],b[maxn*4+10],t[maxn*4+10];void read(int &num,int *a){ num=0;int v=0;char ch=getchar(); for(;(ch<'0')||(ch>'9');ch=getchar()); for(;(ch>='0')&&(ch<='9');a[num++]=ch-'0',ch=getchar()); int mx=num/2-1;fo(i,0,mx)swap(a[i],a[num-i-1]);}int up(LD x){return int(x)+((int(x)==x)?0:1);}void DFT(int *a,int tag){ fo(i,0,n-1){ int pos=0; for(int j=0,ii=i;j<m;pos=(pos<<1)+(ii&1),ii=ii>>1,j++); t[pos]=a[i]; } for(int i=2;i<=n;i=i<<1){ int half=i>>1; fo(j,0,half-1){ int wi=(tag>0)?w[n/i*j]:w[n-n/i*j]; for(int k=j;k<n;k+=i){ int x=t[k],y=1ll*wi*t[k+half]%mo; t[k]=(x+y)%mo; t[k+half]=(x-y+mo)%mo; } } } fo(i,0,n-1)a[i]=t[i];}int Pow(int x,int y){ int z=1; while(y){ if(y&1)z=1ll*z*x%mo; x=1ll*x*x%mo; y=y>>1; } return z;}int main(){ freopen("d.in","r",stdin); freopen("d.out","w",stdout); read(A,a);read(B,b); m=up(log(max(A,B)<<1)/log(2));n=1<<m; w[0]=1;w[1]=Pow(g,(mo-1)/n); fo(i,2,n)w[i]=1ll*w[i-1]*w[1]%mo; DFT(a,1);DFT(b,1); fo(i,0,n-1)a[i]=1ll*a[i]*b[i]%mo; DFT(a,-1); int ni=Pow(n,mo-2); fo(i,0,n-1)a[i]=1ll*a[i]*ni%mo; fo(i,0,n-1){ a[i+1]+=a[i]/10; a[i]%=10; } for(;a[n]==0;n--); fd(i,n,0)putchar(a[i]+'0'); return 0;}
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