柯西不等式

柯西在纯数学和应用数学的功底是相当深厚的，很多数学的定理、公式都以他的名字来称呼，如柯西不等式、柯西积分公式。在数学写作上，他被认为在数量上仅次于欧拉的人，他一生一共著作了789篇论文和几本书。据说，法国科学院《会刊》创刊的时候，由于柯西的作品实在太多，以致于科学院要负担很大的印刷费用，超出科学院的预算，因此，科学院后来规定论文最长的只能够到四页。柯西较长的论文因而只得投稿到其它地方。

柯西不等式是这样一个式子

(ac+bd)2⩽(a2+b2)(c2+d2)

当且仅当 ac=bd 时等号成立

这是怎么来的呢？
我们知道我们可以用一个坐标来表示向量

我们也知道向量的数量积 a→⋅b→=|a||b|cos⁡θ 因为 cos⁡θ∈[0,1] 所以 a→⋅b→⩾|a||b| ,如果我们用坐标 (a,b)(c,d)来表示这两个向量，根据运算法则我们可以得到

(ac+bd)⩾(a2+b2)(c2+d2) 两边平方即为柯西不等式

然而，如果两个成立，能不能同均值不等式一样扩展到无穷多个呢，我们来验证一下

(a12+a22+a32+...+an2)(b12+b22+b32+...+bn2)⩾(a1b1+a2b2+...+anbn)2

如果观察这一个式子，左边是两数相乘，右边是一个数的平方，这似乎与二元一次方程的判别式相类似。我们把 a12+a22+a32+...+an2 看做A，把 b12+b22+b32+...+bn2 看做B， a1b1+a2b2+...+anbn 看做C那么我们要证的是 C2−AB⩽0

我们构造这样一个函数 f(x)=Ax2+2Cx+B 其判别式为 4C2−4AB ,符合我们的要求，现在我们只需证明这个函数至多有一个零点

因为 f(x)=(a12+a22+a32+...+an2)x2+2(a1b1+a2b2+...+anbn)x+b12+b22+b32+...+bn2

我们将它们的一部分一一配对，即可得 f(x)=(a1x+b1)2+(a2x+b2)2+...+(anx+bn)2⩾0

当且仅当 a1b1=a2b2=...=anbn 函数有零点 ab

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They Said "Anger rests in the bosom of folly."

原文地址：http://ozem.pw/archives/692