一维卷积积分学习实例

本文主要参考内容为奥本海姆《信号与系统》2.2节连续时间线性时不变系统卷积积分，若有不正确的地方，敬请指正。

例 假设某一线性时不变系统的输入为x(t)，其单位冲激响应为h(t)，其中

x(t)=e−atu(t),     a>0,h(t)=u(t)

u(t)特指连续时间单位阶跃函数

相关函数示意图如下图所示：

上图分别画出了h(τ)、x(τ)以及对应于某个正值t和负值t的h(t−τ)的函数图像。从图中可以看出，由于t<0时，x(τ)与h(t−τ)的乘积为0，所以卷积y(t)=0；而对于t>0，则有

x(τ)h(t−τ)={e−aτ,    0<τ<t0,    others

注意：卷积公式为y(t)=∫+∞−∞x(τ)h(t−τ)dτ，关于对卷积的理解可以参考知乎上的讨论：https://www.zhihu.com/question/22298352/answer/34267457

刚刚提及，当t<0时，x(τ)与h(t−τ)的乘积为0，在此进行解释：

x(τ)h(t−τ)=e−aτu(τ)h(t−τ)=e−aτu(τ)u(t−τ)

当t<0时，不论τ取何值，都有u(τ)u(t−τ)=0，因此上式为0，从而定积分y(t)也等于0.

现在计算t>0时的卷积积分，有

y(t)=∫t0x(τ)h(t−τ)dτ=∫t0e−aτu(τ)u(t−τ)dτ

观察u(t)的函数图像可知，当t>0且0<τ<t的条件下，始终有u(τ)u(t−τ)=1，这样有

y(t)=∫t0e−aτdτ =−1ae−aτ∣∣∣t0=1a(1−e−aτ)

对于所有的t，将表达式统一起来，得出最终表达式

y(t)=1a(1−e−aτ)u(t)

之所以末尾需要加一个u(t)，是因为当t<0时，可以让y(t)为0.