图的连通性问题

图的表示方法

#define E 1000000#define V 100000struct Edge{    int v;//终止点    int c;//边权点    int next;//下一个结点}p[E];int head[V];//链表头int e;//边总数void init()//初始化{    memset(head,-1,sizeof(head));    e=0;}void addnote(int u,int v,int c)//加边{    p[e].v=v;    p[e].c=c;    p[e].next=head[u];    head[u]=e++;}

无向图

连通分量

方法一：并查集

init_set(|V|);for each(u,v) in E    union(u,v);//条件find(a)=find(b),说明a,b同属于一个连通分量

方法二：深搜

dfs(u){    vis[u]=eis;    for each (u,v) in E        if(!vis[v])            dfs(v);}memset(vis,0,sizeof(vis));eid=0;for each v in V{    if(!vis[v])    {        ++eid;        dfs(v);    }}

有向图

弱连通分量

去掉边的方向以后形成的无向图是连通图，没有孤立点
算法：把有向边看作无向边，用并查集或深搜

强连通分量

Tarjan算法

void tarjan(int u){    vis[u]=true;    dfn[u]=low[u]=++Time;    stack.push(u);    for each (u,v) in E        if(!dfn[v])            tarjan(v),low[u]=min(low[u],low[v]);        else if(ins[v]) //只有回边才更新low值，过滤掉横跨边            low[u]=min(low[u],dfn[v]);    end for    if(low[u]>=dfn[u])//low[u]是否受过回边牵连    {        do        {            v=stack.pop();            print v;        }while(u!=v);//打印一组强连通的顶点集    }}

找环

（1）拓扑排序

bool toposort(int n,int *que){    int i,j,v;    static int deg[MAXN],stk[MAXN],top,sz;    memset(deg,0,sizeof(deg));    for(int i=0;i<n;i++)    {        for(int j=p[i],~j;j=e[j].next)//枚举i的邻边        {            v=e[j].v;            deg[v]++;        }    }    for(top=i=0;i<n;i++)    {        if(!deg[i])            stk[top++]=i;    }    sz=0;    while(top)    {        v=stk[--top];        que[sz++]=v;        for(int i=p[v];~i;i=e[i].next)        {            v=e[i].v;            --deg[v];            if(!deg[v])                stk[top++]=v;        }    }    return (sz==n);//返回是否无环}

（2）用强连通分量来做，寻找图的强连通子图
（3）用改进的DFS解决问题

//C[N]的值//0:此结点没有被访问过//-1:此结点被访问过至少1次，其后代结点正在被访问//1:其后代结点都被访问过void dfs(u){    C[u]=-1;//回边的标志    for each(u,v) in E        if(!C[v])             dfs(v);        else if(C[v]==-1)//回边，存在环            circle_found();    C[u]=1;//横跨边、前向边的标志}

边连通分量与桥

性质：
（1）边连通分量不含桥，含有桥的子图不是边连通分量
（2）任何一个无向连通图都恰好由桥和边连通分量组成
（3）如果将每个边连通分量缩成一个点，那么新图必然是一棵树，每一条树边在原图就是一个桥
算法：
定义low[u]的值为搜索树中u的树边、回边、前向边的关联结点中low的最小值，设v是一个树边的关联结点，那么low[u]比low[v]大是说明u-v是一个桥，复杂度为O(|E|)

void edge_conn(fa,u){    vis[u]=true;    dfn[u]=low[u]=++Time;    stack.push(u);    for each (u,v) in E        if not vis[v] then            edge_conn(u,v);            low[u]=min(low[u],low[v]);            if low[v]>dfn[u] then //说明深搜树中，(u,v)是树边                print(u,v)        //v的子树没有越过u的回边，可见(u,v)是桥                do                {                    v=stack.pop();                    print v;                }while(u!=v);//记录一个边连通分量            end if        else if u!=fa and low[v]<low[u]            low[u]=dfn[v];    end for}

双连通分量与割点

性质：双连通分量不含割点，含有割点的子图不是双连通分量，但可能是边连通量。
|连通分量|>|边连通分量|>|双连通分量|
算法：

dfs(fa,u){    int i;    dfn[u]=low[u]=++Time;    vis[u]=true;    for each (u,v) in E        if(v==fa) continue;        if vis[i] then            low[u]=min(low[u],dfn[v]);        else            dfs(u,v);        low[v]=min(low[u],low[v]);        if(low[v]>=dfn[u])             cut[u]++;        //cut[u]表示点u的存在与否导致的连通分量的变化数目        end if    end for     if(fa!=-1)        cut[u]++;}