[题解]bzoj3144(HNOI2013)切糕

Description

Input

第一行是三个正整数P,Q,R，表示切糕的长P、 宽Q、高R。第二行有一个非负整数D，表示光滑性要求。接下来是R个P行Q列的矩阵，第z个 矩阵的第x行第y列是v(x,y,z) (1≤x≤P, 1≤y≤Q, 1≤z≤R)。
100%的数据满足P,Q,R≤40，0≤D≤R，且给出的所有的不和谐值不超过1000。

Output

仅包含一个整数，表示在合法基础上最小的总不和谐值。

Sample Input

2 2 2
1
6 1
6 1
2 6
2 6

Sample Output

6

HINT

最佳切面的f为f(1,1)=f(2,1)=2,f(1,2)=f(2,2)=1

Solution

        这道题是一个网络流的常见模型之一。不难想到源点向第1层连无限大的边，点(x,y,z)向点(x,y,z+1)连边权为v(x,y,z)的边。第r+1层向汇点连无限大的边。在相邻两竖列没有高度差限制的时候，这样的建图是正确的，即每竖列取最小。现在我们要构图来限制高度差。这是一个经典的构图模型：（下图是p=1，q=2，r=5，d=2的情况）

这里所有中间的边都是inf。图中省略了右上往左下连的边。为什么要加上中间的边呢？我们可以很明显的看出，我们在每一个竖列中至少要割掉一条边才能使图不联通。而图中可以看出，如果选了红色的边，那么所有蓝色的边相当于全部被割断。所以在一个竖列中至多只需要割一条边，因为如果割两条，下面那一条割断的效果就相当于割了上面那一条，所以没必要割上面那一条。在每竖列只割一条边的情况下，如果我们割了红色的边，那么我们必须割绿色边上方的边才能一次性割断S与T。而我们可以发现，每条连向斜下方的边都是连向相邻竖列比他低d格的点，这样正好就限制了高度。由于相邻两竖列互相连了边，所以就可以把相邻两竖列中割的边的高度差限制在d以内。然后只需要跑一边最大流就可以了。

代码：

#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>using namespace std;const int maxn=50,oo=0x7ffffff;const int dx[5]={0,1,0,-1,0},  dy[5]={0,0,1,0,-1};struct edge{int to,next,same,size;}e[maxn<<16];int p,q,r,d,num=0,top=0,v[maxn][maxn][maxn],head[maxn<<16],mark[maxn][maxn][maxn];int que[maxn<<16],dep[maxn<<16],ans=0,cur[maxn<<16];void adde(int u,int v,int w){e[++num].to=v;e[num].size=w;e[num].next=head[u];head[u]=num;}void add(int u,int v,int w){adde(u,v,w);e[num].same=num+1;adde(v,u,0);e[num].same=num-1;}bool bfs(){memset(que,0,sizeof que);memset(dep,0,sizeof dep);int qhead=0,tail=1;dep[que[1]=0]=1;while(qhead<tail){int x=que[++qhead];for(int i=head[x];i;i=e[i].next){if(!dep[e[i].to]&&e[i].size){dep[e[i].to]=dep[x]+1;que[++tail]=e[i].to;if(e[i].to==top+1)return true;}}}return false;}int dfs(int x,int flow){if(x==top+1||(!flow))return flow;int temp=0;for(int &i=cur[x];i;i=e[i].next){if(dep[e[i].to]==dep[x]+1&&(temp=dfs(e[i].to,min(flow,e[i].size)))){e[i].size-=temp;e[e[i].same].size+=temp;return temp;}}return 0;}int Dinic(){int flow;while(bfs()){memcpy(cur,head,sizeof head);while(flow=dfs(0,oo))ans+=flow;}}int main(){scanf("%d%d%d%d",&p,&q,&r,&d);for(int i=1;i<=r+1;i++){for(int j=1;j<=p;j++){for(int k=1;k<=q;k++){mark[j][k][i]=++top;}}}for(int i=1;i<=p;i++){for(int j=1;j<=q;j++){add(0,mark[i][j][1],oo);add(mark[i][j][r+1],top+1,oo);}}for(int i=1;i<=r;i++){for(int j=1;j<=p;j++){for(int k=1;k<=q;k++){scanf("%d",&v[j][k][i]);add(mark[j][k][i],mark[j][k][i+1],v[j][k][i]);}}}for(int i=d+1;i<=r+1;i++){for(int j=1;j<=p;j++){for(int k=1;k<=q;k++){for(int mv=1;mv<=4;mv++){if(mark[j+dx[mv]][k+dy[mv]][i]){add(mark[j][k][i],mark[j+dx[mv]][k+dy[mv]][i-d],oo);}}}}}Dinic();printf("%d\n",ans);}