算法提高 递推求值 (矩阵快速幂)

来源:互联网 发布:mac命令行解压rar 编辑:程序博客网 时间:2024/03/29 02:33

问题描述
  已知递推公式:

  F(n, 1)=F(n-1, 2) + 2F(n-3, 1) + 5,

  F(n, 2)=F(n-1, 1) + 3F(n-3, 1) + 2F(n-3, 2) + 3.

  初始值为:F(1, 1)=2, F(1, 2)=3, F(2, 1)=1, F(2, 2)=4, F(3, 1)=6, F(3, 2)=5。
  输入n,输出F(n, 1)和F(n, 2),由于答案可能很大,你只需要输出答案除以99999999的余数。
输入格式
  输入第一行包含一个整数n。
输出格式
  输出两行,第一行为F(n, 1)除以99999999的余数,第二行为F(n, 2)除以99999999的余数。
样例输入
4
样例输出
14

21
数据规模和约定
  1<=n<=10^18。

题解:1<=n<=10^18,直接暴力递归显然会T。所以只能构造矩阵,用矩阵快速幂了。

构造一个1 x 8矩阵:


我们要通过上面这个矩阵乘以一个8 x 8的矩阵A得出一个新矩阵:


逆推计算得到矩阵A为:

0,1,1,0,0,0,0,0,1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,2,3,0,0,0,0,0,0,0,2,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,0,1,0,0,0,0,0,1

所以可以利用矩阵快速幂就可以了。

代码:

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;typedef long long ll;const int mod=99999999;struct matrix{ll a[8][8];};matrix multiply(matrix x,matrix y,int m,int n,int s){matrix tmp;memset(tmp.a,0,sizeof(tmp.a));for(int i=0;i<m;i++){for(int j=0;j<n;j++){for(int k=0;k<s;k++){tmp.a[i][j]=(tmp.a[i][j] + (x.a[i][k] * y.a[k][j])%mod)%mod;}}}return tmp;}matrix tmp={                0,1,1,0,0,0,0,0,                1,0,0,1,0,0,0,0,                0,0,0,0,1,0,0,0,                0,0,0,0,0,1,0,0,                2,3,0,0,0,0,0,0,                0,2,0,0,0,0,0,0,                1,0,0,0,0,0,1,0,                0,1,0,0,0,0,0,1            };int main(){    matrix res;    ll f[8]={6,5,1,4,2,3,5,3};    ll sum1,sum2,n;    memset(res.a,0,sizeof(res.a));    for(int i=0;i<8;i++){    res.a[i][i]=1;}cin>>n;    if(n==1)        cout<<"2"<<endl<<"3"<<endl;    if(n==2)        cout<<"1"<<endl<<"4"<<endl;    if(n==3)        cout<<"6"<<endl<<"5"<<endl;    if(n>=4){    n-=3;    while(n) //矩阵快速幂     {    if(n&1)res=multiply(res,tmp,8,8,8);    n>>=1;    tmp=multiply(tmp,tmp,8,8,8);}sum1=0;sum2=0;for(int i=0;i<8;i++){sum1=(sum1+(f[i]*res.a[i][0])%mod)%mod;sum2=(sum2+(f[i]*res.a[i][1])%mod)%mod;}cout<<sum1<<endl;cout<<sum2<<endl;}return 0;}



2 0
原创粉丝点击