约瑟夫环

来源:互联网 发布:网络营销策划书案例 编辑:程序博客网 时间:2024/03/29 01:22

是一个数学的应用问题:
  已知n个人(以编号1,2,3...n分别表示)围坐在一张圆桌周围。从编号为k的人开始报数,数到m的那个人出列;他的下一个人又从1开始报数,数到m的那个人又出列;依此规律重复下去,直到圆桌周围的人全部出列。

链表方法

 这个就是约瑟夫环问题的实际场景,有一种是要通过输入n,m,k三个正整数,来求出列的序列。这个问题采用的是典型的循环链表的数据结构,就是将一个链表的尾元素指针指向队首元素。 p->link=head
  解决问题的核心步骤:
  1.建立一个具有n个链结点,无头结点的循环链表
  2.确定第1个报数人的位置
  3.不断地从链表中删除链结点,直到链表为空
  void JOSEPHUS(int n,int k,int m) //n为总人数,k为第一个开始报数的人,m为出列者喊到的数
  {
  /* p为当前结点 r为辅助结点,指向p的前驱结点 list为头节点*/
  LinkList p,r,list;
  /*建立循环链表*/
  for(int i=0,i<n,i++)
  {
  p=(LinkList)malloc(sizeof(LNode));
  p->data=i;
  if(list==NULL)
  list=p;
  else
  r->link=p;
  r=p;
  }
  p>link=list; /*使链表循环起来*/
  p=list; /*使p指向头节点*/
  /*把当前指针移动到第一个报数的人*/
  for(i=0;i<k;i++)
  {
  r=p;
  p=p->link;
  }
  /*循环地删除队列结点*/
  while(p->link!=p)
  {
  for(i=0;i<m-1;i++)
  {
  r=p;
  p=p->link;
  }
  r->link=p->link;
  printf("被删除的元素:%4d ",p->data);
  free(p);
  p=r->link;
  }
  printf("/n最后被删除的元素是:%4d",P->data);
  }

Josephus(约瑟夫)问题的数学方法

 无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点:要模拟整个
  游戏过程,不仅程序写起来比较烦,而且时间复杂度高达O(nm),当n
  ,m非常大(例如上百万,上千万)的时候,几乎是没有办法在短时间
  内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号,
  而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率,就要打破常规,
  实施一点数学策略。
  为了讨论方便,先把问题稍微改变一下,并不影响原意:
  问题描述:n个人(编号0~(n-1)),从0开始报数,报到(m-1)的退出
  ,剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。
  我们知道第一个人(编号一定是m-1%n) 出列之后,剩下的n-1个人组
  成了一个新的约瑟夫环(以编号为k=m%n的人开始):
  k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2
  并且从k开始报0。
  现在我们把他们的编号做一下转换:
  k --> 0
  k+1 --> 1
  k+2 --> 2
  ...
  ...
  k-3 --> n-3
  k-2 --> n-2
  变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题,假如我们知道这
  个子问题的解:例如x是最终的胜利者,那么根据上面这个表把这个x
  变回去不刚好就是n个人情况的解吗?!!变回去的公式很简单,相
  信大家都可以推出来:x‘=(x+k)%n
  如何知道(n-1)个人报数的问题的解?对,只要知道(n-2)个人的解就
  行了。(n-2)个人的解呢?当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是
  一个倒推问题!好了,思路出来了,下面写递推公式:
  令f表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号,最后的结果自然
  是f[n]
  递推公式
  f[1]=0;
  f=(f[i-1]+m)%i; (i>1)
  有了这个公式,我们要做的就是从1-n顺序算出f的数值,最后结
  果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始,我们输出f[n]+1
  由于是逐级递推,不需要保存每个f,程序也是异常简单:
  #include <stdio.h>
  int main(void)
  {
  int n, m, i, s=0;
  printf ("N M = "); scanf("%d%d", &n, &m);
  for (i=2; i<=n; i++) s=(s+m)%i;
  printf ("The winner is %d/n", s+1);
  }
  这个算法的时间复杂度为O(n),相对于模拟算法已经有了很大的提高
  。算n,m等于一百万,一千万的情况不是问题了。可见,适当地运用
  数学策略,不仅可以让编程变得简单,而且往往会成倍地提高算法执
  行效率。
  解决Josephus(约瑟夫)问题的pascal代码
  program Josephus(input,output);
  type pointer=^nodetype;
  nodetype=record
  data:integer;
  link:pointer
  end;
  var head,next,last:pointer;
  i,n,s,j,m,k:integer;
  begin
  writeln('请输入组成约瑟夫环的人数:');
  read(n);
  new(head);
  head^.data :=1;
  last:=head;
  for i:=2 to n do
  begin
  new(next);
  next^.data :=i;
  last^.link :=next;
  last:=next
  end;
  last^.link :=head;
  next:=head;
  repeat
  begin
  writeln(next^.data );
  next:=next^.link
  end;
  until next=head;
  readln;
  next:=head;
  writeln('请输入第一个报数人的位置:');
  read(s);
  j:=1;
  if s<=n
  then
  while j<s do
  begin
  next:=next^.link ;
  j:=j+1
  end
  else writeln('你的输入有误');
  writeln('请输入出列人的位置:');
  read(m);
  while next^.link <>next do
  begin
  k:=1;
  while k<m do
  begin
  last:=next;
  next:=next^.link ;
  k:=k+1
  end;
  writeln(next^.data );
  last^.link :=next.link ;
  next:=next^.link
  end;
  writeln(next^.data );
  readln;
  readln
  end.

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