算法提高快速幂（快速幂算法详解）

问题描述

　　给定A, B, P，求(A^B) mod P。

输入格式

　　输入共一行。
　　第一行有三个数，N, M, P。

输出格式

　　输出共一行，表示所求。

样例输入

2 5 3

样例输出

2

数据规模和约定

　　共10组数据
　　对100%的数据，A, B为long long范围内的非负整数，P为int内的非负整数。

      所谓的快速幂，实际上是快速幂取模的缩写，简单的说，就是快速的求一个幂式的模(余)。在程序设计过程中，经常要去求一些大数对于某个数的余数，为了得到更快、计算范围更大的算法，产生了快速幂取模算法。

算法1.首先直接地来设计这个算法：

#include <iostream>#include <algorithm>using namespace std;int main(){long long a,b;int ans = 1,n;cin>>a>>b>>n;for(int i=1;i<=b;i++){ ans=ans * a;}ans=ans%n;cout<<ans<<endl;return 0;}

这个算法的时间复杂度体现在for循环中，为O（b）.这个算法存在着明显的问题，如果a和b过大，很容易就会溢出。

我们先来看看第一个改进方案：在讲这个方案之前，要先有这样一个公式：

(a * b) mod n=(a mod n * b mod n) mod n

于是不用思考的进行了改进：

算法2：

#include <iostream>#include <algorithm>using namespace std;int main(){long long a,b;int ans = 1,n;cin>>a>>b>>n;a=a%n;//加上这一句for(int i = 1;i<=b;i++){ ans=ans*a;}ans=ans%n;cout<<ans<<endl;return 0;}

既然某个因子取余之后相乘再取余保持余数不变，那么新算得的ans也可以进行取余，所以得到比较良好的改进版本。

算法3：

#include <iostream>#include <algorithm>using namespace std;int main(){long long a,b;int ans = 1,n;cin>>a>>b>>n;a=a%n;for(int i = 1;i<=b;i++){ ans = (ans*a)%n;//这里再取了一次余}ans=ans%n;cout<<ans<<endl;return 0;}

这个算法在时间复杂度上没有改进，仍为O(b)，不过已经好很多的，但是在c过大的条件下，还是很有可能超时，所以，我们推出以下的快速幂算法。

快速幂算法依赖于以下明显的公式：

1.如果b是偶数，我们可以记k = (a^2) mod n，那么求(k^(b/2)) mod n就可以了。

2.如果b是奇数，我们也可以记k = (a^2) mod n，那么求((k^(b/2) )mod c × a ) mod n就可以了。

算法4：

#include <iostream>#include <algorithm>using namespace std;int main(){long long a,b;int ans = 1,n;cin>>a>>b>>n;a = a % n;if(b%2==1)ans = (ans * a)%n; //如果是奇数，要多求一步，可以提前算到ans中int k=(a*a)%n; //我们取a^2而不是afor(int i = 1;i<=b/2;i++){ans=(ans*k)%n;}ans=ans%n;cout<<ans<<endl;return 0;}

　　我们可以看到，我们把时间复杂度变成了O(b/2).当然，这样子治标不治本。但我们可以看到，当我们令k = (a * a) mod n时，状态已经发生了变化，我们所要求的最终结果即为k^(b/2) mod c而不是原来的(a^b) mod c，所以我们发现这个过程是可以迭代下去的。当然，对于奇数的情形会多出一项a mod c，所以为了完成迭代。

　　当b是奇数时，我们通过ans = (ans * a) % c;来弥补多出来的这一项，此时剩余的部分就可以进行迭代了。形如上式的迭代下去后，当b=0时，所有的因子都已经相乘，算法结束。于是便可以在O（log b）的时间内完成了。于是，有了最终的算法：快速幂算法。

算法5：快速幂算法

#include <iostream>#include <algorithm>using namespace std;int main(){long long a,b;int ans = 1,n;cin>>a>>b>>n;a=a%n;while(b>0){if(b%2==1)ans=(ans*a)%n;b=b/2;a= (a*a)%n;}cout<<ans<<endl;return 0;}

将上述的代码结构化，也就是写成函数：

#include <iostream>#include <algorithm>using namespace std;int PowerMod(long long a, long long b, int n){int ans=1;a=a%n;while(b>0){if(b%2==1)ans=(ans*a)%n;b/=2;a=(a*a)%n;};return ans;}int main(){long long a,b;int ans,n;cin>>a>>b>>n;ans=PowerMod(a,b,n);cout<<ans<<endl;return 0;}