算法提高快速幂(快速幂算法详解)

来源:互联网 发布:手机淘宝删除聊天记录 编辑:程序博客网 时间:2022/08/11 16:50
问题描述
  给定A, B, P,求(A^B) mod P。
输入格式
  输入共一行。
  第一行有三个数,N, M, P。
输出格式
  输出共一行,表示所求。
样例输入
2 5 3
样例输出
2
数据规模和约定

  共10组数据
  对100%的数据,A, B为long long范围内的非负整数,P为int内的非负整数。


      所谓的快速幂,实际上是快速幂取模的缩写,简单的说,就是快速的求一个幂式的模(余)。在程序设计过程中,经常要去求一些大数对于某个数的余数,为了得到更快、计算范围更大的算法,产生了快速幂取模算法。

算法1.首先直接地来设计这个算法:
#include <iostream>#include <algorithm>using namespace std;int main(){long long a,b;int ans = 1,n;cin>>a>>b>>n;for(int i=1;i<=b;i++){ ans=ans * a;}ans=ans%n;cout<<ans<<endl;return 0;}


这个算法的时间复杂度体现在for循环中,为O(b).这个算法存在着明显的问题,如果a和b过大,很容易就会溢出。

我们先来看看第一个改进方案:在讲这个方案之前,要先有这样一个公式:

(a * b) mod n=(a mod n * b mod n) mod n

于是不用思考的进行了改进:
算法2:
#include <iostream>#include <algorithm>using namespace std;int main(){long long a,b;int ans = 1,n;cin>>a>>b>>n;a=a%n;//加上这一句for(int i = 1;i<=b;i++){ ans=ans*a;}ans=ans%n;cout<<ans<<endl;return 0;}

既然某个因子取余之后相乘再取余保持余数不变,那么新算得的ans也可以进行取余,所以得到比较良好的改进版本。

算法3:
#include <iostream>#include <algorithm>using namespace std;int main(){long long a,b;int ans = 1,n;cin>>a>>b>>n;a=a%n;for(int i = 1;i<=b;i++){ ans = (ans*a)%n;//这里再取了一次余}ans=ans%n;cout<<ans<<endl;return 0;}

这个算法在时间复杂度上没有改进,仍为O(b),不过已经好很多的,但是在c过大的条件下,还是很有可能超时,所以,我们推出以下的快速幂算法。

快速幂算法依赖于以下明显的公式:

1.如果b是偶数,我们可以记k = (a^2) mod n,那么求(k^(b/2)) mod n就可以了。

2.如果b是奇数,我们也可以记k = (a^2) mod n,那么求((k^(b/2) )mod c × a ) mod n就可以了。
算法4:
#include <iostream>#include <algorithm>using namespace std;int main(){long long a,b;int ans = 1,n;cin>>a>>b>>n;a = a % n;if(b%2==1)ans = (ans * a)%n; //如果是奇数,要多求一步,可以提前算到ans中int k=(a*a)%n; //我们取a^2而不是afor(int i = 1;i<=b/2;i++){ans=(ans*k)%n;}ans=ans%n;cout<<ans<<endl;return 0;}

  我们可以看到,我们把时间复杂度变成了O(b/2).当然,这样子治标不治本。但我们可以看到,当我们令k = (a * a) mod n时,状态已经发生了变化,我们所要求的最终结果即为k^(b/2) mod c而不是原来的(a^b) mod c,所以我们发现这个过程是可以迭代下去的。当然,对于奇数的情形会多出一项a mod c,所以为了完成迭代。
  当b是奇数时,我们通过ans = (ans * a) % c;来弥补多出来的这一项,此时剩余的部分就可以进行迭代了。形如上式的迭代下去后,当b=0时,所有的因子都已经相乘,算法结束。于是便可以在O(log b)的时间内完成了。于是,有了最终的算法:快速幂算法。
算法5:快速幂算法
#include <iostream>#include <algorithm>using namespace std;int main(){long long a,b;int ans = 1,n;cin>>a>>b>>n;a=a%n;while(b>0){if(b%2==1)ans=(ans*a)%n;b=b/2;a= (a*a)%n;}cout<<ans<<endl;return 0;}

将上述的代码结构化,也就是写成函数:

#include <iostream>#include <algorithm>using namespace std;int PowerMod(long long a, long long b, int n){int ans=1;a=a%n;while(b>0){if(b%2==1)ans=(ans*a)%n;b/=2;a=(a*a)%n;};return ans;}int main(){long long a,b;int ans,n;cin>>a>>b>>n;ans=PowerMod(a,b,n);cout<<ans<<endl;return 0;}

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