【知识点】 --- 第一类Stirling数和第二类Stirling数

来源：互联网发布：国外微博软件编辑：程序博客网时间：2024/04/26 02:51

转载自：ACdreamers的博客

第一类Stirling数 s(p,k)

s(p,k)的一个的组合学解释是：将p个物体排成k个非空循环排列的方法数。

s(p,k)的递推公式： s(p,k)=(p-1)*s(p-1,k)+s(p-1,k-1) ,1<=k<=p-1

边界条件：s(p,0)=0 ,p>=1 s(p,p)=1 ,p>=0

递推关系的说明：

考虑第p个物品，p可以单独构成一个非空循环排列，这样前p-1种物品构成k-1个非空循环排列，方法数为s(p-1,k-1)；

也可以前p-1种物品构成k个非空循环排列，而第p个物品插入第i个物品的左边，这有(p-1)*s(p-1,k)种方法。

第二类Stirling数 S(p,k)

S(p,k)的一个组合学解释是：将p个物体划分成k个非空的不可辨别的（可以理解为盒子没有编号）集合的方法数。

k!S(p,k)是把p个人分进k间有差别(如：被标有房号）的房间(无空房）的方法数。

S(p,k)的递推公式是：S(p,k)=k*S(p-1,k)+S(p-1,k-1) ,1<= k<=p-1

边界条件：S(p,p)=1 ,p>=0 S(p,0)=0 ,p>=1

递推关系的说明：

考虑第p个物品，p可以单独构成一个非空集合，此时前p-1个物品构成k-1个非空的不可辨别的集合，方法数为S(p-1,k-1)；

也可以前p-1种物品构成k个非空的不可辨别的集合，第p个物品放入任意一个中，这样有k*S(p-1,k)种方法。

第一类斯特林数和第二类斯特林数有相同的初始条件，但递推关系不同。

题目：HDU3625

题意：给N个元素，让我们求K个环排列的方法数。

斯特林第一类数的第推公式：

S（N，0）=0; S（N，N）=1； S（0，0）=0； S（N，K）=S（N-1，K-1）+S（N-1，K）*（N-1）；

这个公式的意思是：当前N-1个数构成K-1 个环的时候，加入第N个，N只能构成单环！—S（N-1，K-1）如果N-1个数构

成K个环的时候，加入第N个，N可以任意加入，N-1内的一个环里，所以（N-1）*S（N-1，K）这个题目里，因为不能破坏

第1个门：所以 S（N，K）-S（N-1，K-1）才是能算构成K个环的方法数！就是去掉1自己成环的情况。

#include<stdio.h>#include<string.h>#define N 21__int64 fac[N]={1,1};__int64 stir[N][N];void init(){    int i, j;    for(i=2;i<N;i++)        fac[i]=i*fac[i-1];    memset(stir,0,sizeof(stir));    stir[0][0]=0;    stir[1][1]=1;    for(i=2;i<N;i++)       for(j=1;j<=i;j++)           stir[i][j]=stir[i-1][j-1]+(i-1)*stir[i-1][j];}int main(){    init();    int t;    scanf("%d",&t);    while(t--)    {         int n, k, i;         scanf("%d %d",&n,&k);         __int64 cnt=0;         for(i=1;i<=k;i++)             cnt+= stir[n][i] - stir[n-1][i-1];//注意：去掉1自己成环的         printf("%.4lf\n",1.0*cnt/fac[n]);    }    return 0;}

自己找的第二类斯特林数模板：

const int MAX = 105;const int MOD = 1e9 + 7;long long s[MAX][MAX];void init(){    memset(s, 0, sizeof(s));    s[1][1] = 1;    for(int i = 2; i <= 100; ++i)        for(int j = 1; j <= i; ++j)        {            s[i][j] = s[i-1][j-1] + j*s[i-1][j];            if(s[i][j] >= MOD) s[i][j] %= MOD;        }}

---例题：SDNU 1011

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