背包九讲

来源:互联网 发布:windows 高精度sleep 编辑:程序博客网 时间:2024/03/29 01:14
P01:01背包问题 
题目 
N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i],价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量,且价值总和最大。 

基本思路 
这是最基础的背包问题,特点是:每种物品仅有一件,可以选择放或不放。 

用子问题定义状态:即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是:f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]} 按照这个方程递推完毕后,最终的答案并不一定是f[N] [V],而是f[N][0..V]的最大值。

优化空间复杂度 
以上方法的时间和空间复杂度均为O(N*V),其中时间复杂度基本已经不能再优化了,但空间复杂度却可以优化到O(V) 

这要求在每次主循环中我们以v=V..0的顺序推f[v],这样才能保证推f[v]f[v-c[i]]保存的是状态f[i -1][v-c[i]]的值。伪代码如下: 

for i=1..N 
for v=V..0 
f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]}; 

即,i从1到n遍历,v从V到0遍历,当求f[v]时(f[i][v]),这一层的f[v - c[i]]未遍历到,仍为上一个i即i - 1的值(f[i - 1][v - c[i]]),所以f[v] = max(f[v],f[v - c[i]] + w[i])可以实现二维中的f[i][v] = max(f[i - 1][v],f[i - 1][v - c[i] ]+ w[i])。

并且,此时,f[V]经过i = n,v从V到0的遍历求max,f[V]即为所求值。

P02: 完全背包问题 
题目 
N种物品和一个容量为V的背包,每种物品都有无限件可用。第i种物品的费用是c[i],价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量,且价值总和最大。 

基本思路 
这个问题非常类似于01背包问题,所不同的是每种物品有无限件。也就是从每种物品的角度考虑,与它相关的策略已并非取或不取两种,而是有取0件、取1件、取2……等很多种。如果仍然按照解01背包时的思路,令f[i][v]表示前i种物品恰放入一个容量为v的背包的最大权值。仍然可以按照每种物品不同的策略写出状态转移方程,像这样:f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k*c[i]<= v}。这跟01背包问题一样有O(N*V)个状态需要求解,但求解每个状态的时间则不是常数了,求解状态f[i][v]的时间是O(v/c[i]),总的复杂度是超过O(VN)的。 

一个简单有效的优化 
完全背包问题有一个很简单有效的优化,是这样的:若两件物品ij满足c[i]<=c[j]w[i]>=w[j],则将物品j去掉,不用考虑。这个优化的正确性显然:任何情况下都可将价值小费用高得j换成物美价廉的i,得到至少不会更差的方案。对于随机生成的数据,这个方法往往会大大减少物品的件数,从而加快速度。然而这个并不能改善最坏情况的复杂度,因为有可能特别设计的数据可以一件物品也去不掉。 

f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i][v-c[i]]+w[i]},将这个方程用一维数组实现:

for i=1..N 

for v=0..V

 f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]};

f[i][v] = max(f[i - 1][v],f[i][v - c[i]] + w[i]),即,由于有无限个物体,所以在选择的时候可以不停选第i个物体,而v从0到V,就能实现在i层的多次选择。

P03: 多重背包问题 
题目 
N种物品和一个容量为V的背包。第i种物品最多有n[i]件可用,每件费用是c[i],价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量,且价值总和最大。 

基本算法 
这题目和完全背包问题很类似。基本的方程只需将完全背包问题的方程略微一改即可,因为对于第i种物品有n[i]+1种策略:取0件,取1…… n[i]件。令f[i][v]表示前i种物品恰放入一个容量为v的背包的最大权值,则:f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+ k*w[i]|0<=k<=n[i]}转化为01背包求解:把第i种物品换成n[i]01背包中的物品,则得到了物品数为∑n[i]01背包问题,直接求解,复杂度是O(V*∑n[i])

O(VN)的算法 
多重背包问题同样有O(VN)的算法。这个算法基于基本算法的状态转移方程,但应用单调队列的方法使每个状态的值可以以均摊O(1)的时间求解。

二进制优化

http://blog.csdn.net/sm_545/article/details/75258452

P04: 混合三种背包问题 
问题 
如果将P01P02P03混合起来。也就是说,有的物品只可以取一次(01背包),有的物品可以取无限次(完全背包),有的物品可以取的次数有一个上限(多重背包)。应该怎么求解呢? 

01
背包与完全背包的混合 
考虑到在P01P02中最后给出的伪代码只有一处不同,故如果只有两类物品:一类物品只能取一次,另一类物品可以取无限次,那么只需在对每个物品应用转移方程时,根据物品的类别选用顺序或逆序的循环即可,复杂度是O(VN)。伪代码如下: 

for i=1..N 
if 
i件物品是01背包 
for v=V..0 
f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]}; 
else if 
i件物品是完全背包 
for v=0..V 
f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]}; 

再加上多重背包 
如果再加上有的物品最多可以取有限次,那么原则上也可以给出O(VN)的解法:遇到多重背包类型的物品用单调队列解即可。

  • for i=1..N
  •     ifi件物品属于01背包
  •         ZeroOnePack(c[i],w[i])
  •     else ifi件物品属于完全背包
  •         CompletePack(c[i],w[i])
  •     else ifi件物品属于多重背包
  •         MultiplePack(c[i],w[i],n[i])

P05: 二维费用的背包问题 
问题 
二维费用的背包问题是指:对于每件物品,具有两种不同的费用;选择这件物品必须同时付出这两种代价;对于每种代价都有一个可付出的最大值(背包容量)。问怎样选择物品可以得到最大的价值。设这两种代价分别为代价1和代价2,第i件物品所需的两种代价分别为a[i]b[i]。两种代价可付出的最大值(两种背包容量)分别为VU。物品的价值为w[i] 

算法 
费用加了一维,只需状态也加一维即可。设f[i][v][u]表示前i件物品付出两种代价分别为vu时可获得的最大价值。状态转移方程就是:f [i][v][u]=max{f[i-1][v][u],f[i-1][v-a[i]][u-b[i]]+w[i]}。如前述方法,可以只使用二维的数组:当每件物品只可以取一次时变量vu采用顺序的循环,当物品有如完全背包问题时采用逆序的循环。当物品有如多重背包问题时拆分物品。 

物品总个数的限制 
有时,二维费用的条件是以这样一种隐含的方式给出的:最多只能取M件物品。这事实上相当于每件物品多了一种件数的费用,每个物品的件数费用均为1,可以付出的最大件数费用为M。换句话说,f[v][m]表示付出费用v、最多选m件时可得到的最大价值,则根据物品的类型(01、完全、多重)用不同的方法循环更新,最后在f[0..V][0..M]范围内寻找答案。 

另外,如果要求恰取M件物品,则在f[0..V][M]范围内寻找答案。

关于件数时,多重背包和二维背包的区别在于,二维背包的件数限制必须对于每种物品都相同,即maxn,而多重背包最多可以取n[i]件。

P06: 分组的背包问题 
问题 
N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i],价值是w[i]。这些物品被划分为若干组,每组中的物品互相冲突,最多选一件。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量,且价值总和最大。 

算法 
这个问题变成了每组物品有若干种策略:是选择本组的某一件,还是一件都不选。也就是说设f[k][v]表示前k组物品花费费用v能取得的最大权值,则有f[k][v]=max{f[k-1][v],f[k-1][v-c[i]]+w[i]|物品i属于第k} 

使用一维数组的伪代码如下: 

for 所有的组
for v=V..0 

for 所有的i属于组

f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]} 

P07: 有依赖的背包问题 
简化的问题 
这种背包问题的物品间存在某种依赖的关系。也就是说,i依赖于j,表示若选物品i,则必须选物品j。为了简化起见,我们先设没有某个物品既依赖于别的物品,又被别的物品所依赖;另外,没有某件物品同时依赖多件物品。 

算法 
这个问题由NOIP2006金明的预算方案一题扩展而来。遵从该题的提法,将不依赖于别的物品的物品称为主件,依赖于某主件的物品称为附件。由这个问题的简化条件可知所有的物品由若干主件和依赖于每个主件的一个附件集合组成。 

按照背包问题的一般思路,仅考虑一个主件和它的附件集合。可是,可用的策略非常多,包括:一个也不选,仅选择主件,选择主件后再选择一个附件,选择主件后再选择两个附件……无法用状态转移方程来表示如此多的策略。(事实上,设有n个附件,则策略有2^n+1个,为指数级。) 

考虑到所有这些策略都是互斥的(也就是说,你只能选择一种策略),所以一个主件和它的附件集合实际上对应于P06中的一个物品组,每个选择了主件又选择了若干个附件的策略对应于这个物品组中的一个物品,其费用和价值都是这个策略中的物品的值的和。但仅仅是这一步转化并不能给出一个好的算法,因为物品组中的物品还是像原问题的策略一样多。 

再考虑P06中的一句话:可以对每组中的物品应用P02一个简单有效的优化。这提示我们,对于一个物品组中的物品,所有费用相同的物品只留一个价值最大的,不影响结果。所以,我们可以对主件i附件集合先进行一次01背包,得到费用依次为0..V-c[i]所有这些值时相应的最大价值f'[0..V-c[i]]。那么这个主件及它的附件集合相当于V-c[i]+1个物品的物品组,其中费用为c[i]+k的物品的价值为f'[k]+w[i]。也就是说原来指数级的策略中有很多策略都是冗余的,通过一次01背包后,将主件i转化为 V-c[i]+1个物品的物品组,就可以直接应用P06的算法解决问题了。

P08: 泛化物品 
定义 
考虑这样一种物品,它并没有固定的费用和价值,而是它的价值随着你分配给它的费用而变化。这就是泛化物品的概念。 

更严格的定义之。在背包容量为V的背包问题中,泛化物品是一个定义域为0..V中的整数的函数h,当分配给它的费用为v时,能得到的价值就是h(v) 

这个定义有一点点抽象,另一种理解是一个泛化物品就是一个数组h[0..V],给它费用v,可得到价值h[V] 

一个费用为c价值为w的物品,如果它是01背包中的物品,那么把它看成泛化物品,它就是除了h(c)=w其它函数值都为0的一个函数。如果它是完全背包中的物品,那么它可以看成这样一个函数,仅当vc整除时有h(v)=v/c*w,其它函数值均为0。如果它是多重背包中重复次数最多为n的物品,那么它对应的泛化物品的函数有h(v)=v/c*w仅当vc整除且v/c<=n,其它情况函数值均为0 

一个物品组可以看作一个泛化物品h。对于一个0..V中的v,若物品组中不存在费用为v的的物品,则h(v)=0,否则h(v)为所有费用为v的物品的最大价值。P07中每个主件及其附件集合等价于一个物品组,自然也可看作一个泛化物品。 

泛化物品的和 
如果面对两个泛化物品hl,要用给定的费用从这两个泛化物品中得到最大的价值,怎么求呢?事实上,对于一个给定的费用v,只需枚举将这个费用如何分配给两个泛化物品就可以了。同样的,对于0..V的每一个整数v,可以求得费用v分配到hl中的最大价值f(v)。也即f(v)=max{h(k) +l(v-k)|0<=k<=v}。可以看到,f也是一个由泛化物品hl决定的定义域为0..V的函数,也就是说,f是一个由泛化物品h l决定的泛化物品。 

由此可以定义泛化物品的和:hl都是泛化物品,若泛化物品f满足f(v)=max{h(k)+l(v-k)|0<=k<=v},则称fhl的和,即f=h+l。这个运算的时间复杂度是O(V^2) 

泛化物品的定义表明:在一个背包问题中,若将两个泛化物品代以它们的和,不影响问题的答案。事实上,对于其中的物品都是泛化物品的背包问题,求它的答案的过程也就是求所有这些泛化物品之和的过程。设此和为s,则答案就是s[0..V]中的最大值。 

背包问题的泛化物品 
一个背包问题中,可能会给出很多条件,包括每种物品的费用、价值等属性,物品之间的分组、依赖等关系等。但肯定能将问题对应于某个泛化物品。也就是说,给定了所有条件以后,就可以对每个非负整数v求得:若背包容量为v,将物品装入背包可得到的最大价值是多少,这可以认为是定义在非负整数集上的一件泛化物品。这个泛化物品——或者说问题所对应的一个定义域为非负整数的函数——包含了关于问题本身的高度浓缩的信息。一般而言,求得这个泛化物品的一个子域(例如0..V)的值之后,就可以根据这个函数的取值得到背包问题的最终答案。 

综上所述,一般而言,求解背包问题,即求解这个问题所对应的一个函数,即该问题的泛化物品。而求解某个泛化物品的一种方法就是将它表示为若干泛化物品的和然后求之。 

输出字典序最小的最优方案 
这里字典序最小的意思是1..N号物品的选择方案排列出来以后字典序最小。以输出01背包最小字典序的方案为例。 

一般而言,求一个字典序最小的最优方案,只需要在转移时注意策略。首先,子问题的定义要略改一些。我们注意到,如果存在一个选了物品1的最优方案,那么答案一定包含物品1,原问题转化为一个背包容量为v-c[1],物品为2..N的子问题。反之,如果答案不包含物品1,则转化成背包容量仍为V,物品为2..N的子问题。不管答案怎样,子问题的物品都是以i..N而非前所述的1..i的形式来定义的,所以状态的定义和转移方程都需要改一下。但也许更简易的方法是先把物品逆序排列一下,以下按物品已被逆序排列来叙述。 

在这种情况下,可以按照前面经典的状态转移方程来求值,只是输出方案的时候要注意:从N1输入时,如果f[i][v]==f[i-v]f[i][v]==f[i-1][f-c[i]]+w[i]同时成立,应该按照后者(即选择了物品i)来输出方案。 

求方案总数 
对于一个给定了背包容量、物品费用、物品间相互关系(分组、依赖等)的背包问题,除了再给定每个物品的价值后求可得到的最大价值外,还可以得到装满背包或将背包装至某一指定容量的方案总数。 

对于这类改变问法的问题,一般只需将状态转移方程中的max改成sum即可。例如若每件物品均是01背包中的物品,转移方程即为f[i][v]=sum{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]},初始条件f[0][0]=1

for i=1..N 
for v=0..V 
f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]} 
g[i][v]=0 
if(f[i][v]==f[i-1][v]) 
inc(g[i][v],g[i-1][v] )
if(f[i][v]==f[i-1][v-c[i]]+w[i]) 
inc(g[i][v],g[i-1][v-c[i]]) 

可以想象状态转移图,可行的状态转移用虚线表示.

例f[i][v] = max(f[i - 1][v],f[i - 1][v - c[j]] + w[i]),f[i][v] 可由f[i - 1][v]和f[i - 1][v - c[j]] + w[i]之间一个或2个转移来。

当开始递推时,f[i][v]就有max转移来,所以f[i][v]和max之间就有实线,表示确定的转移。

累加到最后即所求。(相加法则)


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