第一类Stirling数和第二类Stirling

来源:互联网 发布:linux绑定域名命令 编辑:程序博客网 时间:2024/03/29 07:45

第一类Stirling数 s(p,k)

    

s(p,k)的一个的组合学解释是:将p个物体排成k个非空循环排列的方法数。

 

s(p,k)的递推公式: s(p,k)=(p-1)*s(p-1,k)+s(p-1,k-1) ,1<=k<=p-1

边界条件:s(p,0)=0 ,p>=1  s(p,p)=1  ,p>=0


递推关系的说明:

考虑第p个物品,p可以单独构成一个非空循环排列,这样前p-1种物品构成k-1个非空循环排列,方法数为s(p-1,k-1);

也可以前p-1种物品构成k个非空循环排列,而第p个物品插入第i个物品的左边,这有(p-1)*s(p-1,k)种方法。

 

 

第二类Stirling数 S(p,k)

   

S(p,k)的一个组合学解释是:将p个物体划分成k个非空的不可辨别的(可以理解为盒子没有编号)集合的方法数。

k!S(p,k)是把p个人分进k间有差别(如:被标有房号)的房间(无空房)的方法数。

   

S(p,k)的递推公式是:S(p,k)=k*S(p-1,k)+S(p-1,k-1) ,1<= k<=p-1

边界条件:S(p,p)=1 ,p>=0    S(p,0)=0 ,p>=1

  

递推关系的说明:

考虑第p个物品,p可以单独构成一个非空集合,此时前p-1个物品构成k-1个非空的不可辨别的集合,方法数为S(p-1,k-1);

可以前p-1种物品构成k个非空的不可辨别的集合,第p个物品放入任意一个中,这样有k*S(p-1,k)种方法。

  

第一类斯特林数和第二类斯特林数有相同的初始条件,但递推关系不同。

 

题目:HDU3625

 

题意:给N个元素,让我们求K个环排列的方法数。

斯特林第一类数的递推公式:

SN0=0; SNN=1 S00=0 SNK=SN-1K-1+SN-1K*N-1);

 

这个公式的意思是:当前N-1个数构成K-1 个环的时候,加入第N个 ,N只能构成单环!—S(N-1,K-1)如果N-1个数构

成K个环的时候,加入第N个,N可以任意加入,N-1内的一个环里,所以(N-1*SN-1K这个题目里,因为不能破坏

1个门:所以 SNK-S(N-1,K-1)才是能算构成K个环的方法数!就是去掉1自己成环的情况 。

#include<stdio.h>#include<string.h>#define N 21typedef long long ll;ll fac[N] = {1, 1};ll stir[N][N];void init(){    for(int i = 2; i <= N; i++)        fac[i] = fac[i-1] * i;    memset(stir, 0, sizeof(stir));    stir[0][0] = 0;    stir[1][1] = 1;    for(int i = 2; i < N; i++)        for(int j = 1; j <= i; j++)            stir[i][j] = stir[i-1][j-1] + (i-1)*stir[i-1][j];}int main(){    init();    int t;    scanf("%d", &t);    while(t--)    {        int n, k;        scanf("%d%d", &n, &k);        ll cnt = 0;        for(int i = 1; i <= k; i++)            cnt += stir[n][i] - stir[n-1][i-1];        printf("%.4lf\n", 1.0*cnt/fac[n]);    }    return 0;}


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