超拉普拉斯先验非盲去模糊--Fast Image Deconvolution using Hyper-Laplacian Priors

1. 基本知识

1.1 拉普拉斯分布与超拉普拉斯分布

在概率论与统计学中，拉普拉斯分布是以皮埃尔-西蒙•拉普拉斯的名字命名的一种连续概率分布。由于它可以看作是两个不同位置的指数分布背靠背拼接在一起，所以它也叫作双指数分布。两个相互独立同概率分布指数随机变量之间的差别是按照指数分布的随机时间布朗运动，所以它遵循拉普拉斯分布。
拉普拉斯分布概率密度函数分布为：

f(x|μ,b)=12bexp(−|x−μ|b)
其中，μ 是位置参数， b是尺度参数。如果μ=0 ，那么，正半部分恰好是尺度为 1/2 的指数分布.

f(x)=12π√σexp(−(x−μ)22σ2)(正态分布密度函数)

拉普拉斯分布的概率密度函数让我们联想到正态分布，但是，正态分布是用相对于 μ 平均值的差的平方来表示，而拉普拉斯概率密度用相对于平均值的差的绝对值来表示。因此，拉普拉斯分布的尾部比正态分布更加平坦。根据绝对值函数，如果将一个拉普拉斯分布分成两个对称的情形，那么很容易对拉普拉斯分布进行积分。
超拉普拉斯分布，如下式所示，当 α=2 时为高斯分布，α=1 时为拉普拉斯分布，当0<α<1 时为超拉普拉斯分布。自然场景图像，α 值在[0.5,0.8].

f(x|μ,b)=12bexp(−|x−μ|αb)

P(f)=exp(−k|∇f|p)
| | |
| ————- |:————-:|
上图分别为同一场景的红外图像与可见光图像。
自然场景的梯度符合长拖尾分布，该先验知识已经被证实，且已在去噪，去模糊和超分辨率重建为问题上有所应用。这种长拖尾分布可以很好的用超拉普拉斯分布来近似。非凸项的引入使得问题的求解变得缓慢且困难。使用查找表或者解析解的形式进行求解，当α=0.5,1/3,2/3 时提供解析解。

本文引入一个针对超拉普拉斯先验的快速非盲反卷积方法。使用交替最小化方法，可把问题分为一个非凸子问题和一个二次凸子问题，针对二次凸子问题可有解析解，针对非凸子问题：引入查找表和解析求解两种方式。交替最小化即为经典的半二次分裂问题。不同于TV范数模型，TV范数模型可以直接通过shrinkage的方法求解，本文中的稀疏先验为非凸项，无法使用以上方法。

算法：

目标函数模型：

minμ∑n2i=1(μ2||Kμ−f||22+∑Jj=1|μ⨂f|α)

式中，第一项为数据保真项，第二项为图像与J个滤波器卷积的α范数和，作为超拉普拉斯正则项，在本文中我们使用两个典型的滤波器算子，横向差分算子和竖向差分算子，用于得到图像的梯度，μ为超参数。
使用半二次惩罚的方法（文献Constrained restoration and recovery of discontinuities），针对每一个像素引入奢侈变量ω1i,ω2i分别近似表示两个方向的α范数，得出新的目标函数：

minμ∑n2i=1(μ2||Kμ−f||22+β2(||F1iμ−ω1i||22+||F2iμ−ω2i||22)+|ω1i|α+|ω1i|α)

式中， β为奢侈变量的加权参数，当其区域无穷大时，两个目标函数等价，当β固定是，上式可使用交替最小化的方法求解。
固定\omega，求解μ子问题：此时问题为二次问题，可以得出其解析解如下：

μ=F−1(F(F1)∗∘F(ω1)+F(F2)∗∘F(ω2)+μβF(K)∗∘F(f)F(F1)∗∘F(F1)+F(F2)∗∘F(F2)+μβF(K)∗∘F(K))
固定μ， 求解ω 子问题：该问题为非凸问题，如下所示：
μ=argminμ(|ω|α+β2(ω−Fjiμi))

提供两种求解该问题的方法：查找表法和解析法。
*查找表法：针对上式，当α固定时，ω 的最优解仅依赖于β和Fjiμi ，我们可以离线计算出对应的最优解对，虽然查找表方式给出的是近似解，但可以快速的对任意的α>0求出ω子问题的解。
*解析法：对于某些特殊的α>0，可以求出解析解，α=2时，子问题为二次问题，容易求解；α=1 时，可以使用shrinkage求解。对于某些特殊的2>α>1存在解析解（文献Sparse reconstruction by separable approximation）；针对α<11，给出针对α=0.5,2/3的解析方式。对于这种高次方程可使用牛顿下山法求解，根据（文献Fast Image Deconvolution using Hyper-Laplacian Priors）中的方法在多个解中选取最优解。

算法总结

超拉普拉斯先验非盲反卷积方法：输入参数 f,K,μ>0,β0>0,βinc>1,βmax>β0
初始化：设置内循环最大迭代次数T

1.外循环while βmax>β
2 内循环，固定 μ，使用查找表或者解析方式求得ω ；
3.内循环，固定 ω，根据式（2）求解 μ；
4.内循环，达到内循环最大迭代次数T，结束循环，否则继续循环。
5.外循环 β←βinc∗β

实验分析

原图 α=1/2 （PSNR：31.2761，SSIM：0.8458， Time：0.3294）